Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos - por ejemplo el punto D-  cuya suma de las distancias a dos puntos fijos A B del plano denominados focos, es una cantidad constante e igual al eje mayor de la elipse -C y su simétrico respecto al eje y.
Si la suma de las distancias a esos dos puntos fijos denominados focos es igual a la distancia entre ambos (DA+DB=AB), la elipse se convierte en un segmento de vértices en los focos.
Los segmentos DA DB se llaman rayos focales y por convenio esta distancia - igual al eje mayor- se llama 2a. en consecuencia se tiene que para todo punto D de la elipse  DA+DB=2a.
La distancia entre los dos focos AB se le llama 2c.
El eje menor es denominado con la letra 2b.

Como la suma de los dos radios DA+DB es igual al eje mayor 2a

DA+DB=2a,

 y sabiendo que los focos AB son simétricos respecto al eje y por el origen de coordenadas, con coordenadas (-c, cero) y (+c, cero), podemos sustituir la fórmula de la distancia para ambos radios:
DA será igual a la raíz cuadrada de  (x-.-c) elevado al cuadrado más (y-0) elevado el cuadrado.
DB será igual a la raíz cuadrada de los mismos elementos pero c positivo, entonces tendremos que es igual a la raíz cuadrada de (x-c) al cuadrado más y al cuadrado.
Si desarrollamos esta ecuación para obtener otra más simple, podemos obtener la ecuación canónica de la elipse:

x al cuadrado partido por el semieje mayor al cuadrado más y al cuadrado partido por el semieje menor al cuadrado es igual a uno.


---------------------------

En la figura tenemos una elipse cuyo centro D tiene por coordenadas en x 5 unidades mientras que por coordenada en y tiene 3 unidades.  D=(5,3)

Como nos indica la flecha azul y amarilla hemos de colocar estas coordenadas sobre el numerador detrás de la x y detrás de la y respectivamente,  de manera que x menos la primera cantidad que es 5 todo al cuadrado (x-5),  lo dividimos entre 9 que es el semieje mayor al cuadrado -en color verde-, a continuación le sumamos (y-3), todo al cuadrado, sabiendo que 3 era la distancia del centro de la elipse al eje horizontal, esto es, la medida correspondiente del centro al eje x, todo esto lo dividimos entre 5 qué es el semieje menor al cuadrado ( esto es, 2,24 al cuadrado, medida en color rojo).

Una vez que tenemos esa suma completa la igualamos a uno y de esta forma tenemos la ecuación de la elipse.

-------------------------------------------

en la elipse amarilla tenemos la fórmula o ecuación de una elipse de la que vamos a calcular sus vértices, focos y gráfica, así como el centro de la misma.

Como tenemos que la ecuación canónica es la que aparece en el rectángulo verde, siendo a al cuadrado igual a nueve y b al cuadrado igual a cinco, debemos dividir la expresión dada entre el segundo miembro, cuyo valor es 45, de esta manera tenemos que en el segundo miembro nos quedará la unidad, tal y como debe aparecer en la ecuación canónica. Dividiendo todos los términos por 45, tal y como aparece en la parte superior del dibujo, obtenemos tras simplificar, la ecuación canónica del rectángulo verde. Aplicando la raíz cuadrada de los denominadores, obtenemos el semieje mayor y menor, cuyo valor es 9 y 5, respectivamente.

Como tenemos que la suma de los dos semi ejes mayores o también la longitud del eje mayor es igual a la suma de las distancias entre un punto y ambos focos, tomando como caso particular el punto E, tenemos que la distancia desde este punto hasta el foco es igual a OV, ya que EF+EF' es igual a VV'.

Por tanto en el triángulo rectángulo tenemos el valor del semieje HE y el valor del otro semieje EF=HV, de esta manera podemos obtener HF aplicando el teorema de Pitágoras: hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado mas el otro cateto al cuadrado, de esta manera obtenemos la longitud de c, que es la distancia desde el centro de la elipse hasta los focos. 

Como en la elipse tenemos que  su centro pasa por el origen de coordenadas, las coordenadas de los focos son respectivamente (2,0) y (-2,0).

Como el semieje mayor vale tres, tenemos que el vértice  tiene de coordenadas (3,0) y (-3,0).

Como el semieje menor vale 2,24, que es la raíz de cinco, tenemos que las coordenadas de los vértices del eje menor son (cero, 2,24) y (cero, -2,24).

Igual que operamos en el ejercicio anterior, dada la expresión de la elipse en el rectángulo verde, dividimos ambos miembros por el coeficiente del segundo miembro cuyo valor es 112, de esta manera obtenemos la ecuación de la elipse canónica con el segundo miembro cuyo valor es la unidad, tal y  que aparece en el rectángulo rojo. 

Aplicando la raíz cuadrada de ambos denominadores tenemos que el semieje menor b vale 2,65 y el semieje mayor a vale 4. De esta manera tenemos las coordenadas de ambos vértices: (4,0) y (-4,0) para el semieje mayor, mientras que (0, 2,65) y (0, -265) tenemos que son los vértices de el eje menor.

Para calcular los focos, aplicamos en teorema de Pitágoras en el que tenemos el valor del semieje mayor y el semieje menor, que son la hipotenusa y un cateto respectivamente, de esta manera sustituyendo los datos tenemos el valor del otro cateto c, que es tres.

En el dibujo aparece en el borde inferior izquierdo otro método para calcular los focos, como tenemos que la hipotenusa del triángulo rectángulo es el radio de la circunferencia que corta al eje x en el foco F, podemos calcular la intersección de la circunferencia con ese eje -resolviendo el sistema de ecuaciones de la circunferencia y el eje-, obteniendo así las coordenadas de ambos focos: la ecuación de la circunferencia viene dada por la expresión x menos la coordenada en x del centro D, cuyo valor es cero, más y menos la coordenada en y del centro, cuyo valor es 2,65, todo ello al cuadrado e igual, (la suma de ambos términos), al radio al cuadrado, que es la hipotenusa de valor cuatro.

La intersección de esta circunferencia con la recta y= 0, que es la ecuación del eje x, define el valor de los focos, cuya coordenada en x es 3 y -3 (la coordenada en y es cero por ser una elipse de centro en el origen de coordenadas).

Para calcular el lado recto, que es la longitud del segmento AB de una recta vertical que pasa por los focos hasta que intercepta a la curva elíptica, multiplicamos la constante  dos por el semieje menor al cuadrado y todo ello lo dividimos entre el semieje mayor, sustituyendo los datos obtenemos el valor 3,5, tal y como aparece en el borde inferior derecho del dibujo.

----------------------

Tenemos que en las coordenadas del centro son -1 y -5, por tanto en el numerador de la ecuación ponemos x menos -1,  e y menos -5, obteniendo x +1 y también y +5.

Cogemos el tamaño del semieje mayor, que es cuatro unidades y lo elevamos al cuadrado, por tanto quedará 16 en el denominador, debajo de x +1 , todo esto al cuadrado, hacemos lo mismo con el semieje menor, lo elevamos al cuadrado obteniendo 12 y lo ponemos debajo de y +5, todo esto al cuadrado.

Igualamos todos los elementos que acabamos de nombrar correspondientes al primer miembro a uno, y obtenemos la ecuación del elipse que es lo que aparece en color violeta.

-----------------------------------

El elipse amarilla podemos ver las coordenadas del punto B,  qué son 3 y 4,  eso es lo que aparece en el numerador del primer miembro de la ecuación, (x-3) al cuadrado,  y dividido entre el semieje mayor al cuadrado,  luego está la suma de (y-4),  (cuatro es la otra coordenada del punto B),  y dividido entre el semieje menor al cuadrado, 9.  La suma de ambos es igual a la unidad,  y esta es la ecuación de la elipse


--------------------------------------------

-------------------------------------------------------------

En la figura vemos en el rectángulo amarillo la ecuación de una elipse, le sumamos una unidad a cada miembro para obtener el binomio (y-1) al cuadrado,  a continuación dividimos todo entre 4 para obtener un 1 en el segundo miembro.  De esta manera ya tenemos en la elipse azul la ecuación de la elipse con sus principales elementos y que a continuación dibujamos.  Lo que queda en el denominador de cada término son los semiejes al cuadrado,  mientras que lo que se resta de y y lo que se resta de x son las coordenadas del centro de la elipse, ( 0,1), Sin olvidarnos de que tanto el binomio (y-1) como la x están elevados al cuadrado.

------------------------------------------------------------------

Procediendo como en el ejercicio anterior dividimos entre 9 ambos miembros para obtener más adelante dos binomios al cuadrado en los que están involucrados las dos variables x y, de esta manera obtenemos, tal y como  aparece en el rectángulo del final, la ecuación.

Tenemos por tanto en el 3 y el -1 las coordenadas del centro de la elipse,   cuya raíz cuadrada es 3,4   y  4, las medidas de los ejes horizontal y vertical de la elipse, respectivamente.