miércoles, 14 de noviembre de 2012

Circunferencia





La circunferencia es un caso particular límite de la elipse en la que los dos ejes coinciden en tamaño.
En el dibujo podemos ver dos circunferencias con sus ecuaciones correspondientes, la circunferencia magenta tiene el centro en el origen de coordenadas (0,0) mientras que la circunferencia verde lo tiene en el punto (2,6).
Como ambas circunferencias tienen en el segundo miembro de su ecuación ordinaria el número 25, que es cinco elevado al cuadrado, esto quiere decir que ese es el radio de la circunferencia.
La ecuación de la circunferencia siempre va a ser el binomio formado por  x menos la longitud del centro al eje y, todo ello elevado al cuadrado, sumado a otro binomio al cuadrado que consta de la variable menos la distancia del centro al eje x. 
La suma de ambos binomios al cuadrado es igual siempre al radio al cuadrado.
La circunferencia cuando está en el origen de coordenadas, tenemos que es un caso particular del anterior en la que a cada uno de los binomios hay que restarle la longitud o distancia del centro al origen de coordenadas en ambos ejes, y como ésta es cero tenemos que la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas es siempre la suma de las variables al cuadrado e igualado al radio al cuadrado.




 



Para deducir la ecuación de la circunferencia debemos tener en consideración el concepto de distancia en geometría analítica. Si queremos calcular la distancia entre dos puntos AB para determinar el radio de una circunferencia, tenemos que pensar en sus longitudes o proyecciones sobre ambos ejes coordenados. La longitud sobre el eje horizontal viene determinado por las coordenadas en x, en este caso 5 - 1 igual a cuatro, (x-h).
Las coordenadas sobre el eje y son también la diferencia de un punto menos el otro, en este caso es 6 - 3, cuya diferencia es tres, ( y-k).
Tenemos ya los catetos de un triángulo rectángulo cuyo hipotenusa va a ser posteriormente el radio de la circunferencia. En consecuencia, como la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado, el radio o hipotenusa del triángulo rectángulo al cuadrado será igual a la suma de ambos catetos al cuadrado, (x-h) más ( y-k), y ésta es la longitud del radio en la ecuación de la circunferencia, donde el punto A va a ser el centro de la circunferencia y el punto B va a ser un elemento móvil que dista siempre la misma longitud del centro.
El centro de la circunferencia va a quedar determinado por las coordenadas de A.



En este dibujo nos ofrecen como dato la ecuación de la circunferencia y hay que calcular su gráfica. Tenemos que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado, por tanto el radio al cuadrado va a ser igual a 25 y el radio igual a cinco.
Para determinar las coordenadas del centro, como sabemos que en la ecuación de la circunferencia tenemos el primer binomio al cuadrado del que se resta de la variable la longitud en x la distancia del centro de la circunferencia el origen, por tanto h=1.
Tenemos también que en el segundo binomio al cuadrado se le resta la longitud en y de la localización del centro al origen, por tanto k=3.
Teniendo entonces las coordenadas del centro (1,3) y teniendo el radio de la circunferencia (cinco) podemos dibujar ya la circunferencia y su posición respecto a los ejes cartesianos.



En este ejercicio tenemos como datos el área del círculo (31,42) y el centro que es el punto de coordenadas (6,0) y nos piden que calculemos la ecuación de la circunferencia. 
Como el área de la circunferencia es pi por el radio al cuadrado, 31,42 es igual a  pi por el radio al cuadrado. Despejando el radio tenemos que es igual a 3,16.
La ecuación de la circunferencia será el binomio (x-6) al cuadrado (x menos la coordenada  en x del centro) más (y-0) , (y menos la coordenada en y del centro de la circunferencia) al cuadrado. 
La suma de ambos binomios al cuadrado será igual a 3,16 al cuadrado que es 10.



Para calcular la ecuación de la circunferencia dados el centro (0, -2) y un punto exterior (3,1), se sustituyen los dos parámetros del centro en la ecuación, siendo éstos respectivamente h y k.. 
Para obtener la dimensión del radio -operación encuadrada en el rectángulo-, hacemos uso del teorema de Pitágoras generado por la fórmula: coordenada en x de un punto menos coordenada en x del otro punto, todo ello entre paréntesis y al cuadrado. Hacemos lo mismo con las coordenadas del eje y, aplicamos la diferencia de ambas y elevamos el binomio cuadrado. La suma de ambos binomios al cuadrado debe ser igual al radio al cuadrado. De esta forma tenemos la magnitud 18 que es igual a la distancia o radio al cuadrado, de ahí que la distancia entre el punto y el centro sea la raíz cuadrada de 18, esto es, 4,24. 
Sustituimos esta magnitud en la fórmula y ya tenemos la ecuación de la circunferencia ( aparece en el dibujo encuadrada en una elipse roja).


Ejercicio análogo al anterior, tenemos como datos el centro de la circunferencia y un punto de la misma. sustituimos en la fórmula de la ecuación de la circunferencia los valores del centro h k y para calcular el radio, calculamos la distancia entre los dos puntos dados AB. La distancia determina el radio de longitud 2,24 que elevado al cuadrado aparece sustituido en la fórmula, que es la que aparece dentro de la elipse. 




En el ejercicio anterior hemos obtenido la ecuación ordinaria de la circunferencia, - aparece dentro de la elipse ocre-, para obtener la ecuación general, desarrollamos ambos binomios al cuadrado y pasamos la constante cinco al miembro de la izquierda, dejando a la derecha el cero. Como el 5 pasa restando anula a las constantes de los binomios que suman +5.



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