miércoles, 14 de noviembre de 2012

Coordenadas


El sistema de coordenadas cartesiano nos permite determinar la posición de un punto en el plano mediante 2 números,  la proyección de cada punto la hacemos mediante un rectángulo cuyos lados son las coordenadas del punto.
El sistema de coordenadas cartesiano queda determinado por una unidad lineal para la medida de las longitudes y por dos ejes que son perpendiculares numerados según un orden y numeración equidistante entre cada punto. El eje horizontal es x (eje de abscisas) mientras que el vertical es el eje y (eje de ordenadas), la intersección de ambos ejes es el origen de coordenadas.
El origen de coordenadas se suele representar con la letra O, por tanto tenemos el eje de las abscisas Ox en sentido positivo desde el origen de coordenadas hacia la derecha, mientras que a partir del origen de coordenadas hacia la izquierda es negativo. El eje de ordenadas por encima del origen de coordenadas es positivo mientras que por debajo es negativo.
Para indicar la posición de un punto, se marca el nombre del punto y a continuación se coloca la longitud de la localización del punto sobre el eje x seguido de una coma se coloca la localización en longitud del punto sobre el eje y, cerrando a continuación el paréntesis. Por ejemplo P queda determinado por sus dos coordenadas (x,y), tres unidades sobre el eje x a partir del origen de coordenadas y cinco unidades sobre el eje y a partir del mismo origen, decimos que las coordenadas del punto son (3,5).
Como podemos ver en el dibujo, para cualquier punto tenemos que si el eje X >0 e y >0, el punto está situado en el primer cuadrante (en el borde superior derecho de la intersección de los ejes). Si x <0 e y >0 tenemos que el punto está situado en el segundo cuadrante, (lado izquierdo superior de la intersección de los 2 ejes). Si el punto en sus coordenadas x e y es menor que cero está en el tercer cuadrante mientras que si  x >0 e y <0 está situado en el cuarto cuadrante.
Si consideramos los ejes cartesianos con un ángulo distinto de 90° diremos que el sistema de coordenadas es oblicuo.



Sobre el primer cuadrante tenemos el punto A con coordenadas (4,2), esto quiere decir que sobre el eje x a la derecha hemos contado cuatro unidades mientras que sobre el eje y vertical hemos contado con dos unidades, de esta forma marcamos que este punto tiene por coordenada x cuatro unidades mientras que por coordenada y tiene dos unidades.
En el segundo cuadrante hacemos lo mismo, pero como sobre el eje x tenemos que se cuenta del origen O hacia la izquierda tenemos que contar cuatro unidades en negativo, mientras que sobre el eje vertical, contamos seis unidades que por estar encima del origen de coordenadas son positivas,, corresponde al número seis. Las coordenadas del punto B son por tanto (-4,6).
En el tercer cuadrante tenemos que sobre el eje horizontal x contamos seis unidades a la izquierda del origen por lo que tenemos una medida negativa, -6, mientras que para el eje vertical y de las ordenadas hemos contado ocho unidades por debajo del origen O, por lo que también tenemos un número negativo, -8.
En consecuencia las coordenadas del punto C son (-6, -8).
En el cuarto cuadrante tenemos el punto D del que contamos sobre el eje x a la derecha dos unidades mientras que sobre el eje y por debajo del origen de coordenadas contamos cuatro unidades por tanto es un número negativo, -4. En consecuencia las coordenadas del punto D son (2, -4).



En las coordenadas polares sobre el primer cuadrante marcamos un punto A con su radio polar de dimensión 4,47 y con su ángulo polar de 26,57°. Todo punto queda definido por su distancia al origen de coordenadas, que es la primera medida y por el ángulo que forma respecto al eje x empezando a contar desde cero sobre éste eje y en sentido contrario a las agujas del reloj.
Los grados marcados en este ejemplo son 60ª les (sexagesimales) que quiere decir que toda la circunferencia completa son 360°, si consideramos la circunferencia de 400º tendríamos grados del tipo centesimales, en el que cada cuadrante correspondería a 100°.
la amplitud o ángulo polar se suele tomar en coordenadas polares mediante radianes, considerando que 180° (sexagesimales) son en realidad pi-radianes.
En el segundo cuadrante en color azul tenemos otro ejemplo de otro punto B cuya coordenada primera tiene una longitud de 7, 21 unidades mientras que el ángulo que forma respecto al eje x positivo es de 123,69°.
en el tercer cuadrante tenemos un punto C que dista del origen de coordenadas 10 unidades y que forma con el eje X  233,13°.
En el cuarto cuadrante tenemos otro punto D QUE dista 4,47 unidades y forma 296,57°.

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