miércoles, 14 de noviembre de 2012

Puntos alineados sobre una recta

Puntos linealmente dependientes o alineados


Para comprobar si 3 puntos ABC están alineados y por tanto están sobre una recta, podemos calcular la distancia entre dos próximos, por ejemplo entre los puntos A y B. A continuación calculamos la distancia entre B y C, si ambas distancias sumadas  determinan un número igual a la distancia entre los extremos A y C, ello quiere decir que los tres puntos están alineados.
Si las dos distancias no fueran iguales  los 3 puntos formarían un triángulo, figura en la que siempre la suma de las longitudes de dos lados es mayor que la longitud del otro lado.
Para calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera, hacemos uso del teorema de Pitágoras, en el que la hipotenusa  al cuadrado es igual al cateto al cuadrado mas el cateto al cuadrado.



Otro método para comprobar si tres puntos están alineados

3 puntos están alineados o están sobre una recta si sus vectores tienen la misma pendiente.
Se podría aducir que tienen igual pendiente pero no están sobre la misma línea, pero éste no va a ser el caso ya que los dos vectores van a involucrar a un mismo punto, por ejemplo el del medio. Por tanto si los dos vectores pasan por un mismo punto, sólo deben tener la misma pendiente para que efectivamente los tres puntos que generan esos dos vectores estén alineados.
En el dibujo podemos ver tres puntos ABC, construimos el vector BA, y el vector  CB. 
como todo vector se construye por la diferencia de las coordenadas de sus puntos, restamos la coordenada en x y en y de ambos puntos.
Observamos que la diferencia entre A y B y la diferencia entre B y C determinan los componentes de ambos vectores que son proporcionales, y como la pendiente de ambos es el cociente entre la coordenada  en y entre la coordenada en x, tenemos que el cociente es el mismo para los dos, por lo que ambos tienen igual pendiente y por tanto los tres puntos son colineales, esto es, están sobre una misma línea.


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