miércoles, 14 de noviembre de 2012

Intersección


La intersección entre dos rectas viene determinada por un punto, como éste pertenece a ambas rectas, debe satisfacer ambas ecuaciones por lo que para calcular las coordenadas del punto resolvemos el sistema de ecuaciones obteniendo así el valor de x e y.
En el dibujo tenemos las dos ecuaciones dentro de un rectángulo amarillo, despejamos en la inferior y sustituimos en la superior obteniendo de esta manera que y es igual a -1. Si sustituimos este dato en una cualquiera de las dos ecuaciones -por ejemplo en la superior- obtenemos que la x es igual a -1. En consecuencia las coordenadas del punto de intersección son (-1, -1), es el punto común a ambas rectas.
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Para cualquier tipo de ecuaciones se procede de igual forma, resolvemos el sistema de ecuaciones obteniendo los valores de los puntos de intersección. En la figura tenemos una curva cuadradática -una parábola- y una recta, por tanto tiene dos soluciones, los puntos comunes a ambos elementos.
Las dos soluciones para x son 2 y -1, al sustituirlas en cualquiera de las dos ecuaciones obtenemos sus coordenadas en y, que son respectivamente 4 y 1.


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Intersección de 2 funciones logarítmicas



En el dibujo observamos la representación gráfica de dos funciones logarítmicas. En el borde superior derecho dentro de un rectángulo violeta tenemos la primera: un medio elevado a y es igual a la raíz 3x de cuatro.
Pero un medio  es dos elevado a -1 y como está elevado a y pues es dos elevado a menos y.
En el segundo miembro cambiamos el radical por una forma exponencial, cuatro elevado a uno, el uno pasa el numerador y 3x pasa al denominador. Cuatro es dos al cuadrado que multiplica a 1/3x, teniendo así 2/3x.
Como las bases son iguales podemos igualar los exponentes teniendo directamente el valor de y. La ecuación de esta curva es una hipérbola cuyas asíntotas aparecen en el borde superior izquierdo del dibujo: igualando el denominador a cero obtenemos la asíntota vertical en x=0, mientras que aplicando el límite a toda función cuando x tiende a infinito, obtenemos la asíntota horizontal en y=0.
La otra función es logaritmo decimal de 100: hay que calcular el exponente al que hay que elevar la base 10 para obtener 100, por tanto y=2. la ecuación de esta recta es una línea horizontal que pasa por la ordenada 2.
En el borde inferior derecho dentro de un rectángulo verde tenemos las dos ecuaciones de las funciones logarítmicas de las que calculamos la intersección: como y es igual a dos, sustituimos en la otra ecuación y obtenemos el valor de x, cuando y es igual a dos x es igual a -1/3, esto es -0,33, el punto B que aparece en el dibujo
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Se trata de calcular la intersección de tres planos:  el plano rojo y verde se cortan según una recta y el plano azul y verde según otra recta, ambas rectas se cortan en un punto que es el de intersección de los tres planos.
Para calcular algebraicamente ese punto de intersección primero calculamos la recta de intersección de dos planos,  por ejemplo cogemos el rojo y el verde y considerando el plano horizontal de ecuación Z igual a 0,  cogemos las ecuaciones de ambos planos y nos quedan con dos incógnitas,  obteniendo así el punto de intersección de ambos planos con el plano horizontal.  
Hacemos lo mismo con el plano vertical, x igual a 0 y obtenemos el punto de intersección de ambos planos con ese plano.  Si tenemos dos puntos de una recta ya podemos sacar su ecuación.  Si hacemos lo mismo con el plano azul y verde obtenemos la otra recta de intersección.  Por último la intersección de las dos rectas nos determina el punto J que es el de intersección de los tres planos.



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Tenemos una recta cuya ecuación es la que aparece en el rectángulo en color rojo y tenemos un plano cuya ecuación aparece de color verde.  Necesitamos calcular la intersección de ambos elementos,  tenemos que si despejamos X nos queda que es igual al parámetro más 2.  Sí despejamos y nos queda que es igual a 3 más el parámetro t x 1.  Sí despejamos Z nos queda que es igual a 4 más el parámetro t por 2.
Sustituimos el valor de x y z en la ecuación y calculamos el valor del parámetro t
tenemos entonces que t  es igual a  menos 1.
ahora sustituimos en X,  tenemos que x es igual a 2 + 1t,  al sustituir el -1 en el parámetro obtenemos la coordenada en X que vale 1.
ahora sustituimos en el valor de y,  qué es 3 +t,  tenemos entonces 3 menos 1 y por tanto el valor de y es 2,  por último 4 + 2t,  al sustituir -1 en t  tenemos el valor 2.  

1, 2, 2 son las coordenadas del punto de intersección de la recta con el plano

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Se nos pide calcular la ecuación de la recta que determinan dos planos.
Tomamos un punto cualquiera de la misma,  para ello cogemos aleatoriamente dos coordenadas en XY,  cuando x vale 1 y cuando Y vale dos tenemos que el valor de Z es uno.
Hacemos el producto vectorial de los vectores normales de los planos,  estos vienen determinados por el coeficiente que aparece al lado de cada una de las variables,  por ejemplo en el plano de rojo tenemos que al lado de xyz parece 324,  ese es el vector normal en el caso del plano verde tenemos 2 1 -3.
El vector normal es -10, 17, -1.
Éstos son los elementos que deben aparecer en los denominadores de la ecuación continua de la recta que aparece dentro del rectángulo en color ocre,  mientras que en el numerador aparecerá x -1,  siendo uno la coordenada que cogimos antes,  lo mismo pasa con y menos 2 ya que - 2 es la coordenada que escogimos-  y uno era el valor de Z,  entonces ponemos en el numerador Z menos 1. Esa es la ecuación de la recta

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