Cálculo de la razón en que un punto divide un segmento

División de un segmento de una razón dada.

Vamos a dividir un segmento AB (en color naranja) en razón un tercio, esto no quiere decir que lo dividamos en tres partes y cojamos una parte de él, lo que realmente quiere decir que si tomamos el número del numerador (una unidad) cabe tres veces en el denominador, de esta manera hemos dividido AB en cuatro partes y tomado una.

Si por ejemplo queremos dividir un segmento en 2/3, no cogemos dos partes de tres, sino que lo que hacemos es dividirlo en cinco partes (la suma del numerador más el denominador), dos partes corresponden al número del numerador y tres partes al número del denominador.

Es un segmento dirigido, esto quiere decir que la división a un tercio en el dibujo la vamos a hacer en el sentido AB, de esta manera la unidad AE que se puede repetir sobre el fragmento de tres unidades EB es distinta si la división la hacemos en razón tres a uno (en este caso AE contaría con tres unidades mientras que EB contaría con una unidad). Este último caso sería lo mismo si tomamos la división de BA a un tercio.

En conclusión, la división a un tercio de AB es lo mismo que la división a tres partido uno de BA. En el caso del dibujo la dimensión AE cabe tres veces en la dimensión EB, (decimos que AB está dividido en una razón de un tercio), es equivalente a dividir ese segmento en razón tres partido uno de BA, en este último caso BE es tres veces EA, al igual que en el caso anterior.

En el dibujo podemos ver que el segmento rojo AB con su división a un tercio por E se proyecta sobre el eje x, según el teorema de Tales tenemos que AE/EB= A’E’/E’B’.

Tenemos también que la razón AE/EB es igual a un tercio, pero A’E’=x-x1 y E’B’=x2-x, conforme vemos que el dibujo. Podemos hacer la misma relación sobre el eje y.

AE/EB = A’E’/E’B’= R, por tanto A’E’/E’B’= R, sustituyendo A’E’=x-x1 y E’B’=x2-x tenemos

x-x1= (x2-x)R, despejando la x tenemos que x =(R.x2+x1)/(1+R) y haciendo lo mismo con el otro eje tenemos y =(R.y2+y1)/(1+R), de esta manera podemos calcular las coordenadas del punto E, elemento que divide el segmento bajo una razón dada.