Hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia entre la distancia a sus focos es constante e igual a la distancia entre los vértices. Por ejemplo al tomar un punto cualquiera B, tenemos que BF' menos BF es igual a la distancia entre los vértices VV'. 

En el dibujo tenemos una hipérbola horizontal, la ecuación es la que aparece en el rectángulo azul, a diferencia de la elipse en vez de una suma entre ambos términos, tenemos una diferencia. Debajo de la variable independiente x tenemos la distancia desde el origen hasta el vértice elevado al cuadrado (distancia EV). Debajo de la variable dependiente y tenemos la distancia -elevada al cuadrado- desde el vértice V hasta la intersección A de la ortogonal por éste punto con la circunferencia de centro en el origen (distancia AV).

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En la hipérbola horizontal, y tiene signo menos, mientras que en en la hipérbola vertical x tiene el signo menos.

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Tenemos como datos de la hipérbola el foco, el vértice y el centro de la misma. El otro foco y vértice son simétricos por lo tanto están a igual distancia respecto al origen. La distancia del origen al vértice es una unidad, por lo tanto elevamos al cuadrado este número y lo colocamos en la fórmula debajo de la variable independiente x al cuadrado. Esta fracción es positiva por ser la hipérbola horizontal. 

Ahora necesitamos el valor de b para colocarlo como denominador, debajo de la variable dependiente y al cuadrado.

No tenemos esa longitud, pero tenemos la distancia al foco que es D-F1, pero esta distancia es igual a DM, ya que ambas son el radio de la misma circunferencia. Por tanto tenemos la hipotenusa DM y tenemos un cateto D-V1, en consecuencia tenemos la medida del otro cateto M-V1, que es b, lo que andábamos buscando. Tomamos esta longitud cuyo valor es 1,7 y lo elevamos al cuadrado y lo colocamos en la fórmula como denominador del segundo término. La diferencia de ambos términos debe ser igual a uno.

Para calcular la excentricidad dividimos c  -que es la distancia entre el centro de la hipérbola y el foco- entre a, la distancia entre el centro y el vértice. En la hipérbola siempre es mayor que uno, por oposición a la elipse que siempre es menor que uno.

Para calcular el lado recto o longitud del segmento vertical AB definido por la intersección de la línea vertical que pasa por F1 con la rama de la hipérbola, multiplicamos el cuadrado de b por dos y lo dividimos entre a.

Como podemos observar en el dibujo, las asíntotas o rectas tangentes a la curva en el infinito son las rectas que pasan por el centro de la hipérbola y por M, así como la simétrica de esta línea respecto al eje vertical.

la ecuación de la asíntota que pasa por M, por pasar por el origen de coordenadas, será y=mx, siendo m la pendiente de la recta:  y= 1,73x, la otra asíntota, será una recta que tiene una pendiente de signo contrario, por tanto su ecuación es: y= -1,73x

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En el dibujo podemos observar la diferencia entre una hipérbola horizontal y otra vertical, la vertical o hipérbola en color azul tiene la variable dependiente y  signo positivo, mientras que en la horizontal lo tiene negativo. podemos observar también que el valor de a, que es la unidad, es el que aparece debajo de la variable independiente x, según sea horizontal - en el caso de la hipérbola roja- o debajo de la variable dependiente y - en el caso de la hipérbola azul.

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En la figura podemos observar una hipérbola con su ecuación ordinaria expresada dentro de una elipse verde en la parte superior. Como podemos observar es una hipérbola horizontal y por tanto la distancia del origen de coordenadas o centro de la hipérbola al vértice de la misma es la distancia a, cuyo valor es 2. Mientras que la distancia desde H (intersección de la circunferencia que pasa por el foco y cuyo centro es el origen de coordenadas con la línea vertical que pasa por el vértice V) hasta el vértice V es la longitud b, la que debe aparecer en el denominador del segundo término. Como tenemos c, también tenemos b por el teorema de Pitágoras. La ecuación de las asíntotas viene dada por: y=mx+b. El coeficiente constante b es la coordenada en y o intersección con el eje vertical, por tanto vale cero por pasar por el origen de coordenadas. La pendiente m es el cociente entre b y a.

El lado recto es la longitud que aparece marcada la izquierda y cuya expresión para calcular la aparece en la elipse violeta mientras que la excentricidad es el cociente entre la hipotenusa c y su proyección a.

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En este caso tenemos una hipérbola cuyo centro A no pasa por el origen de coordenadas. Por tanto la expresión matemática es igual a la que tiene el centro en el origen pero con la diferencia de que a la variable independiente x y a la variable dependiente y hay que restarle las coordenadas del centro, denominadas (h,k) y elevar cada término al cuadrado. Las coordenadas del punto A son (-1,3), por tanto tomamos el primer término x--1 obteniendo (x+1), todo ello hay que elevarlo al cuadrado. Hacemos lo mismo con (y-k) y obtenemos (y-3), este binomio también lo elevamos al cuadrado. Tomamos los dos binomios y aplicamos la diferencia entre ambos tras dividirlos por a él primer término y cuyo valor es 2 al cuadrado - segmento en color rojo- y para el segundo término tomamos como denominador al cuadrado el valor de b.

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En la figura tenemos una hipérbola con su ecuación en el rectángulo azul. Dividimos todos los términos de ambos miembros entre -2, para obtener un uno en el segundo miembro. De esta forma tenemos la expresión que aparece en el rectángulo ocre. 

Como entre los dos términos de la expresión aparece un signo negativo en el primer miembro, quiere decir que tenemos la ecuación de una hipérbola.

Como el denominador de ambos términos en el primer miembro aparece el número dos, tenemos que el número al cuadrado que vale dos es 1,41, por tanto en x tenemos que el valor de los vértices es 1,41 positivo y 1,41 negativo. Como en el denominador de la variable y aparece el mismo número, esto quiere decir que el triángulo que aparece en el dibujo de color amarillo es un triángulo isósceles en el que los  catetos son iguales, por tanto al aplicar el teorema de Pitágoras obtenemos como valor de la hipotenusa dos unidades, esto quiere decir que la circunferencia tiene de radio dos y por tanto ese es el valor en x de los focos, dos positivo hacia la derecha para el foco de la derecha y negativo para el de la izquierda. Tenemos en consecuencia que las coordenadas de los vértices y los focos son los que aparecen en color verde y en color azul en el dibujo, respectivamente.

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En la figura podemos observar una hipérbola, las coordenadas del centro son 3,5, eso quiere decir que en la ecuación esos dos números van  restados detrás de las variables X e Y.

Podemos observar el triángulo rectángulo cuyo ángulo de 90 grados pasa por el vértice C, los dos catetos miden 2 y 3, 46, podemos observar que aparecen elevados al cuadrado en los denominadores de la ecuación de la hipérbola, dentro del rectángulo rojo.

Si hacemos centro en F -Punto medio de los dos vértices-  tomando como Radio la distancia desde el centro hasta uno de los focos -A, por ejemplo-  esa circunferencia corta al cateto rojo en su esquina, en H, por ese punto y por el centro de la circunferencia pasa la asíntota  en color rosa, que realmente es la recta tangente a la rama hiperbólica en el infinito, mientras que la otra tangente en color verde es simétrica de la anterior respecto al eje que pasa por los dos focos de la hipérbola y cuyas coordenadas son,  3, 9 y 3, 1.

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En la figura tenemos dos focos F1 F2 correspondientes a numerosas hipérbolas. Como podemos observar uno de los focos está en el origen de coordenadas,  el otro está en el 6 de abscisas y 0 de ordenadas.  

Hacemos circunferencias concéntricas cuyos centros sean esos dos focos, de manera que todas sumen una unidad en su radio respecto a la circunferencia anterior, por ejemplo la primera tiene de Radio 1 la segunda de Radio 2 la tercera de Radio 3 unidades, etcétera.  

La intersección de todas esas circunferencias concéntricas nos determinan ramas  hiperbólicas cuyo centro es siempre el punto medio D  entre los dos focos.  Si queremos obtener la ecuación de las circunferencias,  sabemos que si  tienen por centro el origen siempre es igual a x al cuadrado más y al cuadrado igual al radio al cuadrado,  mientras que si está desplazada hemos de restar a x la coordenada en x y elevarlo todo al cuadrado, lo mismo con y, aunque en el caso de la derecha, y menos 0 todo al cuadrado sigue siendo y.

Para hallar la ecuación de cualquier hipérbola, por ejemplo la de color castaño,  restamos también a x la coordenada en x y lo elevamos al cuadrado dividido entre la distancia DF al cuadrado ,  qué es la distancia desde el centro de la hipérbola hasta el vértice,  luego le restamos y menos la coordenada en y que es cero, todo al cuadrado, esto es y al cuadrado partido por la longitud FA,  que es la distancia entre el vértice y la intersección de la vertical con la circunferencia de radio C-F2  y centro D.