La recta

Como podemos ver en el dibujo, la ecuación general de una recta viene definida por los siguientes términos:
Ax+By+C=0.
Si despejamos todos los términos dejando sólo la variable y, tenemos la ecuación ordinaria
y=(-A/B)x-C/B, también denominada pendiente ordenada, debido a que el coeficiente (-A/B) que aparece al lado de la variable x es la pendiente de la recta, en este caso 4/3. Mientras que la denominación de ordenada corresponde al coeficiente -C/B que aparece sin ninguna variable (en el ejemplo con valor cuatro) y corresponde realmente a la intersección de la recta con el eje y, la ordenada (en este caso el punto 4 del eje y).

Si cogemos una ecuación de una recta y despejamos el coeficiente hasta dejarlo solo de un lado de la igualdad, y a continuación lo dividimos por un término del mismo valor (el signo no importa) tenemos que a este lado de la ecuación queda una unidad negativa (en el dibujo dividimos -12 por 12).
Al otro lado de la ecuación hemos tenido que dividir por el mismo número anterior, si al mismo tiempo los numeradores los dejamos sólos con las variables y cambiamos de signo a ambos miembros para que quede el segundo miembro con 1 positivo,  obtendremos lo que se llama la ecuación simétrica, canónica o segmentaria.
Los denominadores de las variables corresponden a los puntos de intersección de la recta con los ejes respectivos, por ejemplo en el dibujo la ecuación tiene en primer término la variable equis dividida por tres, con signo -, esto quiere decir que la recta corta al eje X en el punto -3. De la misma forma debajo de la variable y aparece el número cuatro, esto significa que la recta corta al eje y en el punto cuatro.

La pendiente de la recta es el resultado de dividir el segmento vertical GF (proyección de la recta sobre el eje vertical) entre el segmento horizontal IH (proyección de la recta sobre el eje horizontal) de un par de puntos de la misma. En este caso particular se ha cogido F sobre el eje vertical, para tener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos cualesquiera obtendremos la misma a partir de  puntos que no corten necesariamente al eje y.

Como podemos observar en el dibujo el segmento vertical GF es en realidad y-b, siendo el segmento b la longitud que va desde el punto B hasta el origen de coordenadas.

Podemos observar en el dibujo también que el segmento x es en realidad la proyección de BC.

Tenemos  en consecuencia que la pendiente es igual a FG/HI, o lo que es lo mismo:

m=(y-b)/x, si despejamos la variable y tenemos la ecuación ordinaria de la recta:  y = mx+b

La ecuación del dibujo corresponde a dos líneas ortogonales que pasan por el origen de coordenadas, puede ser una cónica degenerada o bien una línea degenerada. Si graficamos la recta dando valores a la x tenemos lo siguiente:

(x-y)=0/(x+y), esto es igual a (x-y)=0 

(x+y)=0/(x-y), esto es igual a (x+y)=0 

Por tanto tenemos que la gráfica de esta recta comprende a las gráficas de ambas ecuaciones:

(x-y)=0 

 (x+y)=0 

En la figura tenemos una línea roja cuya ecuación es y= x, cuando x vale 1, y vale1 cuando x vale 2 y vale 2, etc., en consecuencia tenemos una recta que es la bisectriz de los dos ejes cartesianos.

Tenemos también la ecuación y= -x correspondiente a la línea verde, cuando x vale -1 y vale 1, para todo número sobre el eje x tenemos que sobre y vale el mismo pero de signo contrario. Es la recta simétrica de la anterior respecto al eje y.

Tenemos también la ecuación de la línea degenerada transformada en un punto correspondiente a la siguiente expresión:

x al cuadrado más y al cuadrado igual a cero.

Es la ecuación de una circunferencia cuyo radio vale cero, ecuación sólo válida para el punto de coordenadas (0,0).

Tenemos en color magenta la ecuación de la recta que representa la relación de proporcionalidad directa entre dos dimensiones, cuanto más se incrementa sobre las x una dimensión, también se incrementa sobre el eje y, decimos por tanto que son directamente proporcionales. La ecuación de esta relación de proporcionalidad directa es una recta que pasa siempre por el origen de coordenadas, ya que cuando una de las dos dimensiones vale cero la otra también.

Tenemos una relación inversamente proporcional que es la opuesta a la anterior y viene representado por una hipérbola equilátera, en el dibujo  es la curva de  2 ramas representada en color naranja. Dos elementos inversamente proporcionales son aquellos que cuando el uno crece el otro decrece, por ejemplo a más velocidad en hacer un trayecto menos tiempo tardaremos en llegar, si representamos eso sobre los dos ejes cartesianos, tenemos que sobre el eje x podemos poner la velocidad, tenemos por tanto que cuanto más voy incrementando la medida sobre este eje más se va decreciendo el tiempo que tardo en llegar representado sobre el otro eje y, su representación es la curva cónica denominada hipérbola.

Si quitamos la variable dependiente de una ecuación -la y-, obtenemos una ecuación cuya variable única es la x, si calculamos el valor de esta ecuación o igualdad observamos en el ejemplo del dibujo que por ser una ecuación cuadrática (aquella cuyo exponente máximo en cualquiera de sus términos es el número dos) que tiene dos resultados, estos son los dos valores correspondientes a la variable x, esto quiere decir que por estos 2 puntos pasan dos líneas verticales cuyas ecuaciones son:

  x =5   x = -1 

Conceptos básicos para entender la ecuación vectorial de una recta

Suma, resta y producto de vectores

Un vector es un porción o segmento de recta que está dirigido en el espacio,todo vector se apoya en un punto denominado origen, tiene una longitud denominada módulo que comienza en el origen y termina en el extremo, este extremo se marca con una flecha marcando su sentido, nos dice hacia qué lado se dirige el vector. La dirección del vector es la que corresponde a la línea de orientación del segmento.

Hay magnitudes escalares que quedan definidas por un número, como por ejemplo el peso, o la masa, etc., mientras que hay otras magnitudes que son vectoriales como por ejemplo la velocidad, ya que ésta aparte debe de indicar la dirección, el sentido, etc.

Suma de vectores

En la figura podemos observar la suma de cuatro vectores: al vector de color rosa le sumamos el verde, a éste el azul y a éste el amarillo. Para poder sumarlos lo que hacemos es lo siguiente: a partir del primero se coloca en el extremo donde está la flecha  el segundo, a partir del segundo el tercero y así sucesivamente. Tenemos que el primer vector en color rosa tiene dos componentes, los que corresponden al eje x y al eje y, una unidad y cuatro unidades respectivamente (1,4). 

El segundo vector se coloca su origena a partir de la coordenada de este último punto, podemos observar que el vector verde tiene por coordenadas 1 sobre el eje X. porque va hacia la derecha y -5 sobre el eje y porque va hacia abajo. En conclusión la suma de estos dos vectores, el rojo y el verde nos daría un vector de componentes o coordenadas (2,-1) -no representado en el dibujo.

Para conseguir este vector resultado de la suma de los dos anteriores se podría unir el origen del primero que está en las coordenadas 0,0 con el extremo del segundo de coordenadas (2,-1). Podemos deducir que analíticamente la forma de calcularlo es sumar los dos componentes, los de la x: 1 + 1 y los de la y: 4+ -5. Haciendo la misma operación con los otros dos vectores, tenemos que a partir del extremo del verde en el punto C colocamos el vector azul de componentes 2 y 5, esto es, dos unidades sobre el eje x y cinco unidades sobre el eje y. 

Por último sobre el extremo D de este vector colocamos el vector amarillo, cuyas coordenadas son ambas negativas ya que el sentido es hacia la izquierda y hacia abajo, por tanto negativo en las dos direcciones de los ejes cartesianos. Al unir el punto extremo E del final del amarillo como el origen A del vector rosa, tenemos el vector negro de coordenadas (2,3), es el resultado de sumar todos los vectores anteriores. Podemos verificar que esto es cierto si tomamos todas las coordenadas en x de los cuatro vectores tenemos 1 + 1 + 2 - 2, lo que nos da un resultado de 2, si hacemos lo mismo con los componentes sobre el eje y, tenemos 4 más -5 + 5 más -1, lo que nos da un resultado de tres, que es lo que sube el vector sobre el eje y.

En el dibujo podemos observar la suma de otros cuatro vectores, al vector de color rosa con origen en el de coordenadas, se le suma el verde, a éste el azul y a éste el amarillo. Si unimos el extremo E del vector amarillo con el origen  A del primero obtenemos el resultado de sumar los cuatro vectores. 

Podemos observar que los componentes horizontales del vector son negativos en el caso del vector de color rosa y amarillo, ya que ambos van a la izquierda, sus unidades son 3 y 2, respectivamente. 

Podemos observar también que el único vector que retrocede hacia abajo es el amarillo, por ello tiene en el componente correspondiente al eje y un valor negativo, -1. 

Si sumamos las coordenadas en x de los cuatro vectores, tenemos que -3 + 2 + 5 más -2 es igual a dos.

 Si sumamos las coordenadas en y podemos comprobar que 2 + 1 + 1 más -1 es igual a tres. Estos dos componentes 2,3 son realmente los que corresponden al vector negro que representa  la suma de todos los anteriores.

Resta de vectores

En el dibujo podemos ver la resta de dos vectores, el vector rosa menos el azul, por tanto tenemos al restarlos que -2 - 2 es igual a -4 y -1 - 3 es igual a -4, el vector resultante de la resta de los dos anteriores es aquel que tiene por coordenadas en x  y en y, -4, -4, respectivamente.

Si en vez de restar el vector rosa menos el vector azul hacemos al revés, el vector azul menos el rosa, tenemos que dos menos -2 es igual a 4, mientras que 3 menos -1 es igual a 4. Podemos observar que ambos -dibujados en la parte derecha- tienen los mismos componentes pero cambiados de signo, ello supone que el vector formado por los componentes -4, -4 se dirige hacia abajo y hacia la izquierda, por eso tiene la flecha de su sentido así dirigida, mientras que el vector amarillo, de coordenadas 4,4, se dirige hacia la derecha y hacia arriba, por tener ambos componentes positivos tiene también su sentido de orientación a la derecha y hacia arriba.

En el dibujo podemos ver la resta de vector rosa menos el azul, -2 menos -1 es igual a -1 para el componente en x, mientras que -1 menos -3 es igual a 2, en su componente sobre el eje y.

Podemos observar que para restar vectores podemos unir sus extremos mediante un segmento, este nuevo vector de color verde está dirigido al primer vector, al vector que se le resta el segundo.

Podemos comprobar también que la resta de ambos vectores, el de color rosa menos el azul o al revés, genera dos vectores -en color amarillo y en color naranja- con la misma dirección pero con distinto sentido, ambos con el origen en el de coordenadas.

Si restamos el vector v menos el vector u tenemos el vector w (en color rojo) cuyos componentes son -3,6.

Es el resultado de restar el v de componentes -1,9 y el u de componentes 2,3.

v-u      -1-2= -3     y     9-3=6

 Si por contra restamos el rector u menos el vector u, tenemos que sus componentes son 3, -6

Es el resultado de restar el u de componentes 2,3 y el v de componentes -1,9.

u-v    2--1=3    y     3-9= -6

En la figura vemos otro ejemplo de diferencias de vectores u-v, restando las coordenadas en x del primero menos las del segundo y a continuación las coordenadas en y del primero menos el segundo tenemos la diferencia: 2-4=-2      3--1=4

-2,4 son los componentes del vector v, resultado de la diferencia de u menos v

Para representar el vector tenemos que su componente en x va hacia la izquierda, por lo que es negativo, mientras que su componente en y va hacia arriba, por lo que es positivo.

Producto de un vector por un número

En la figura podemos observar el producto de un vector por un número, tenemos un vector -en color naranja- cuyos componentes son 2 sobre el eje x y -1 sobre el eje y. Si multiplicamos este vector por cuatro tenemos un nuevo vector, cuyos componentes son el resultado de hacer el producto de cuatro por cada uno de los componentes del vector: 4 × 2 igual a 8, 4 por -1 igual a -4.
El nuevo vector que es la suma de los cuatro tiene por componentes (8,-4)



Ecuación vectorial, paramétrica, continua, pendiente-ordenada, general y segmentaria

Ecuación vectorial

La ecuación vectorial la podemos construir con un punto cualquiera  de la recta y un vector. Si tenemos por ejemplo el punto de la recta 0, -3 y un vector director CD que define la dirección de la recta, definido por sus componentes, uno en x y dos en y, podemos escribir ya la ecuación vectorial:

xy= coordenadas de un punto cualquiera de la recta +1 parámetro que multiplique a los componentes del vector.

xy= (0,-3) + t (1 , 2)

Ecuaciones paramétricas:

De esta forma x será igual a la coordenada en x del primer punto más el parámetro por la coordenada horizontal o en x del vector.

x = 0 + t .1

De esta forma y será igual a la coordenada en y del primer punto más el parámetro por la coordenada vertical o en y del vector.

y = -3 + t. 2

Según el valor que le demos al parámetro podremos obtener distintos puntos de la recta, si el parámetro lambda o t es igual a 1, tenemos que x vale 1 e y vale -1.

Para el parámetro igual a 2 tenemos que x=2 e y=1, etc.

Ecuación continua

Si despejamos t o lambda de ambas ecuaciones paramétricas y lo que nos queda lo igualamos obtenemos la  ecuación continua, que es la que aparece dentro de la elipse.

Ecuación pendiente-ordenada

Si despejamos en uno de los miembros todos los términos dejando sola la y, tenemos la ecuación que aparece en el rectángulo azul.

Ecuación general

Si despejamos también la y y queda igualada a cero, tenemos la ecuación general.

Ecuación segmentaria

Cuando el segundo miembro de la ecuación es uno y el primer miembro contiene a  a sus términos sólo con las variables x y en el numerador, pasando todos los coeficientes al denominador. Es la ecuación que aparece en el rectángulo rojo.

En el ejercicio se pide calcular puntos de la recta definida por los puntos de coordenadas (2,3) y (6,8).

Si restamos un punto del otro, por ejemplo 6-2 y 8-3 , tenemos 4 y 5, los componentes del vector director de la recta.

Tomando un punto cualquiera, por ejemplo el 2,3, y los componentes del vector 4,5, podemos construir ya directamente la ecuación vectorial de la recta que es la siguiente:

xy=(2,3) +parámetro .(4,5)

Al parámetro que llamamos lambda o t  le damos distintos valores sustituyéndolos en la ecuación, cuando vale uno, x vale 6 e y vale 8, esto quiere decir que éste es otro punto de la recta, por cierto uno de los que nos dan en el enunciado.

Si le damos otro valor al parámetro t, por ejemplo el dos, tenemos que x e y valen respectivamente (10,13), este es otro punto de la recta. Podríamos seguir asignando distintos valores al parámetro para obtener nuevos puntos de la recta.

En este ejercicio se pide, dada la ecuación vectorial de una recta, calcular nuevos puntos, además de su ecuación continua.
Despejamos en la ecuación vectorial los elementos correspondientes a x.
x es igual a la coordenada en x (tres) del punto 3, -4 más el parámetro que tendrá distintos valores y que multiplica al primer componente del vector (dos).
Despejamos también y, que será igual a la coordenada en y del punto (-4) más el parámetro que multiplica al componente en y del vector (que es cinco). De esta manera hemos obtenido las ecuaciones paramétricas de la recta.
Sustituyendo en el parámetro valores distintos, por ejemplo 0 y 2, obtenemos en el primer caso el punto (3,4) y en el segundo caso el punto (7,6). Éstos dos puntos pertenecen a la recta.

Para obtener la ecuación continua despejamos todos los elementos dejando el parámetro t sólo en un miembro, igualando ambos miembros obtenemos la ecuación continua, que es la que aparece en el rectángulo azul.

El vector que podemos observar en el dibujo está dirigido hacia la derecha y hacia abajo, como está hacia la derecha su componente horizontal es positivo, al igual que el eje de abscisas (x). El componente vertical es negativo porque va hacia abajo, al igual que el el eje de las ordenadas (y). Una vez que tenemos los dos componentes del vector AB, podemos calcular su módulo o longitud aplicando el teorema de Pitágoras: la raíz cuadrada de ambos componentes, -2 al cuadrado +5 al cuadrado.

Para obtener la ecuación de la recta que define el vector u y un punto cualquiera, por ejemplo el punto A de coordenadas (1,5), procedemos como sigue: tal y como aparece en el rectángulo amarillo construimos una igualdad en la que en el numerador al miembro x le restamos la coordenada en x del punto (en este caso el uno), al otro lado de la igualdad a la variable  le restamos la otra coordenada y del punto (en este caso el cinco). A los dos miembros los dividimos por el componente correspondiente del vector en x (en este caso el cinco) y el componente del vector en y (para este caso, el valor -2). De esta manera hemos obtenido la ecuación continua de la recta.

Si despejamos en esta igualdad los componentes del vector, tenemos que -2x+2=5y-25, y si al mismo tiempo igualamos esta ecuación a 0, tenemos la ecuación general de la recta: 2x+5y-27=0

Ecuaciones de la recta en el espacio:

En el dibujo tenemos una recta representada en el espacio con sus tres proyecciones, la recta queda definida por 2 puntos que son los extremos del segmento y cuyas coordenadas son (3, 1,4) y (1, 2,2).
Para obtener la ecuación vectorial de la recta necesitamos un punto de la misma y un vector. El vector queda definido por la diferencia entre ambos puntos, podemos observar en el dibujo en los rectángulos amarillos que tanto si restamos el primero del segundo como si lo hacemos de forma inversa el vector (con centro en el origen) que obtenemos en ambos casos tiene los mismos componentes pero de signo opuesto, por tanto ambos tienen la misma dirección que es la dirección de la recta (rectas paralelas tienen la misma dirección).

Para obtener la pendiente de la recta anterior, hemos representado las coordenadas de la recta sobre el plano xy, obteniendo su proyección roja a. Las medidas de este segmento se obtienen al calcular la hipotenusa cuyos catetos son 1 y 2 unidades, esto es 2,24. Si al mismo tiempo restamos la altura o diferencia entre las dos cotas de los puntos, 3 - 1, obtenemos que la altura FG es igual a dos. En la representación aparece el abatimiento del segmento con su altura correspondiente.

En el dibujo tenemos una forma de calcular la pendiente de la recta en el espacio, ésta será el cociente entre FG y AB, esto es, 2 /2,24.

La ecuación de la recta en el espacio queda determinada por la posición de un punto y un vector llamado director, el vector si no es un elemento dado, puede construirse mediante la diferencia entre dos puntos de la recta.

Por ejemplo en el dibujo tenemos el punto de coordenadas 3, 1,4 y el punto de coordenadas 1, 2,2.

Se pide calcular la recta que pasa por esos dos puntos. Si hacemos la diferencia de un punto menos el otro obtenemos un vector, como podemos observar en el dibujo ese vector que se obtiene es paralelo a la recta que pasa por los puntos ya que tiene su misma diferencia en las coordenadas. 

Para definir la recta entonces tenemos un punto, por ejemplo el de coordenadas 3, 1,4 y otro punto que podemos considerar y que queda definido según la dirección del vector. Como sabemos que está en esa dirección pasando por el punto anterior tenemos que estará localizado bajo cierta medida o parámetro, este es el coeficiente que llamamos t. En consecuencia la ecuación -rectángulo ocre- de la recta queda definida de la siguiente manera:

(x,y,z) = P+Vt. 

x,y,z son las variables de la recta, P es un punto cualquiera de la recta del que conocemos sus coordenadas, V es un vector que puede quedar definido por la diferencia entre las coordenadas de 2 puntos y t es el parámetro que determina la posición de cualquier punto que tomemos sobre la recta, ya que al multiplicar el vector por un escalar tenemos siempre puntos sobre la recta.

En el rectángulo verde, observamos que la variable x es igual a la coordenada en x del punto más el componente del vector en  x por el parámetro t. Para las demás variables  ocurre exactamente lo mismo.

Si despejamos el parámetro t en x  tenemos que es igual a (x-3)/2, si hacemos lo mismo con las demás variables e igualamos los tres miembros tenemos la ecuación continua o simétrica de la recta, que es aquella que aparece en el rectángulo amarillo del dibujo.

En el dibujo observamos en el rectángulo amarillo  la ecuación paramétrica de una recta. Para obtener la ecuación general, despejamos el parámetro t de las tres ecuaciones e igualamos dos a dos, por ejemplo la primera con la segunda y la segunda con la tercera. De esta manera obtenemos los tres miembros que aparecen igualados debajo del rectángulo amarillo, en una elipse de color siena y otra de color azul.

Si tomamos los dos miembros de la izquierda -lo que aparece dentro de la elipse de color siena- y despejamos todos los términos hasta igualar a cero obtenemos la ecuación: 3x-2y-1=0, si hacemos lo mismo con la igualdad que aparece dentro de la elipse azul obtenemos la ecuación azul.

Si igualamos ambas ecuaciones y pasamos todos los términos hacia un lado, dejando el cero en el segundo miembro, tendremos la ecuación general de la recta, que es la que aparece en la elipse amarilla.

Ecuaciones lineales que corresponden a rectas verticales.

x igual a 16 quiere decir que es una recta vertical que corta ortogonalmente al eje horizontal X
en el punto 16, aunque en estos casos es irrelevante la representación gráfica, sí conviene tener
una relación entre la forma gráfica y el problema del que se trate.

1- El caso de un ejercicio sobre regla de tres

2- El caso de un ejercicio sobre edades

1- Unos obreros construyen 600 metros cuadrados de baldosa en 18 días trabajando 10 horas diarias, luego lo hacen durante 15 días trabajando  8 horas cada día.

¿Cuántos metros cuadrados habrán hecho la segunda vez?

Si  600 metros cuadrados los hacen en 18 días a razón de 10 horas día, al multiplicar los días por las horas te dará el número de horas totales que han trabajado

18 . 10 = 180 h

Si luego trabajaron durante 15 días a razón de 8 horas al día

8 . 15 = 120 h  trabajaron después

120 horas es lo que han trabajado después y se pregunta cuántos metros cuadrados se habrán hecho en esas horas

¿Sí en 180 horas hicieron 600 metros cuadrados en 120 horas cuántos metros habrán hecho?

Es una regla de tres simple directa aunque al principio pareciera compuesta con muchos datos

180  es  a  600 como  120  es  a  x

180 / 600  = 120 / x

x= 120 . 600/ 180 = 400 m²  es la solución

En efecto 120 h.,  son dos tercios de 180 h., por tanto los metros cuadrados que hicieron también son dos tercios, 400 a 600 están en la misma proporción.

2- Un padre tiene 38 años y su hijo 11,  ¿cuántos años han de transcurrir para que el padre tenga el doble de edad que el hijo?

 La incógnita o lo que hay que determinar es x, o sea el número de años que ha de pasar

 Por tanto los años que han de transcurrir para el padre serán 38 + x

 Pero esos años transcurren también para el hijo por tanto es 11 + x

 Pero cuando pasen esos años que el padre tendrá 38 más X y el hijo también tendrá 11 + x.

Se  pide que el hijo tenga su edad sumada dos veces para que sea igual a la del padre,  entonces habrá que multiplicar 2 por (11 más x)

 Por tanto la solución es 38 más x igual a 2 (11 + x)

38 + x = 2 (11 + x)

 38 + x = 22 + 2 x

38-22=2x-x

 38 menos 22 igual a x

 16 igual a x

 Dentro de 16 años el padre tendrá doble edad que la del hijo ya que 38 + 16 = 54

y  11 + 16 = 27,

 54 es el doble de 27