Gráfica de una función
La gráfica es el dibujo que representa a la función manifestando sus propiedades. La gráfica de una función es el conjunto de todos los puntos del plano que definen los pares de puntos pertenecientes a la función sobre un sistema de ejes coordenados. Si el conjunto de puntos es finito, se pueden representar todos los pares que forman la función, por tanto decimos que la gráfica es completa. Por el contrario, si el conjunto es infinito sólo se podrán representar algunos de los pares que forman la función, obteniendo una aproximación a su gráfica.
Para representar la gráfica de una función lineal (de una recta) necesitamos al menos 2 puntos con sus coordenadas. Para las demás funciones necesitamos usualmente algunos puntos más para tener una aproximación a su gráfica. Para representarla establecemos una tabla de valores en x e y.
Para obtener la gráfica de una función no es suficiente con determinar unos pocos puntos, ya que como podemos ver en el ejemplo del dibujo, todos los puntos que se han calculado de la función determinan una recta de ecuación y = x, por tanto podría parecer que esa es la expresión o ecuación que corresponde a una línea recta, cuando en realidad es una curva de quinto grado (el cinco es el exponente mayor de la variable independiente sin tener en cuenta que se le ha sacado factor común a la expresión).
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Para calcular la intersección de una función con el eje de las abscisas, tomamos su ecuación e igualamos la variable dependiente f(x) a cero, de esta manera sacando factor común en el segundo miembro obtenemos las tres soluciones de la ecuación, estas tres soluciones son en realidad los puntos de intersección de la curva con el eje x.
Análogamente, si queremos obtener la intersección de la curva con el eje y, tomamos la variable independiente x, y la sustituimos por cero, de esta manera tenemos que y es igual a cero, por tanto éste es el punto de intersección de la curva con el eje de las ordenadas.
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El dominio de una función o campo de existencia de una función es el conjunto de todos los valores de x pertenecientes al conjunto de los números reales para los que la función está definida, es decir, en los que existen también los valores de y.
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Recorrido, imagen, condominio o rango de una función es el conjunto de todos los valores que toma la variable y, es decir, los valores que corresponden a algún valor del dominio. Es el conjunto de las imágenes f(x) de los valores de x que pertenecen al dominio de la función. Se observa en la gráfica en el eje y de abajo a arriba.
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Límites y continuidad de funciones
Si tenemos una función y un punto de la recta real, la función tiende a un límite cuando x tiende a un punto, si al dar valores a x cada vez más próximos a “a”, los valores de la función se acercan a ese punto sin llegar a ese límite.
Una función tiene límite cuando x tiende a “a” si los límites por la izquierda y por la derecha son iguales y existen.
Para calcular el límite de la función cuando x tiende a cero, sustituimos el cero en las variables x de la función, de esta manera tenemos que el valor de f(x) es -3, esto quiere decir que el límite de la función cuando nos acercamos por el eje x hasta cero, es -3. En la función se puede comprobar que efectivamente cuando x vale 0, y vale 3.
La función es discontinua en x=1, ya que al sustituir 1 en x en el denominador lo convierte en 0 y un número entre 0 es infinito, por tanto en x=1 tendría una asíntota vertical.
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En el dibujo tenemos un ejemplo de una función discontinua en el intervalo comprendido entre cero y dos. Como podemos observar hay una asíntota vertical por x igual a uno, (obtenido el valor 1 de x al igualar el denominador a cero), en la que la curva se aproxima al menos infinito según nos aproximamos por la izquierda a la asíntota y se aproxima a la más infinito al aproximarnos por la derecha. Tenemos por tanto que la curva se interrumpe en ese intervalo, por lo que es discontinua.
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Dada la función del rectángulo rojo, se pide calcular el límite de la misma cuando x tiende a dos. Si sustituimos en la fórmula en la variable independiente x, observamos que el cociente es cero partido por cero, una indeterminación matemática que hay que destruir.
En el cuadro central en color rosa observamos la forma de transformar el trinomio del numerador en un producto de binomios: se toma el último término constante, en este caso es -10, se consideran dos números que multiplicados den esa cifra, por ejemplo -2 y 5 o también menos -5 y 2. Al mismo tiempo la suma de ambos debe ser igual al coeficiente del segundo término, tres. Por tanto la solución es 5 y -2. Esto quiere decir que x+5 por x-2 es igual al trinomio del numerador.
Como x-2 está también en el denominador, podemos eliminarlo con lo que nos queda x+5.
Es una recta de pendiente uno (coeficiente que está al lado de la x) y que pasa por el punto cinco.
Ahora podemos calcular el límite de la función cuando x tiende a dos, sustituyendo en la expresión que aparece en el rectángulo azul tenemos que su valor es siete, o lo que es lo mismo, si hacemos una recta vertical por x=2, tenemos que corta a la función en y=7.
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Inversa de una función
Inversa de una función no es lo mismo que función inversa (descrita en el apartado siguiente).
si tenemos una función f (x), su inversa es 1/ f(x)
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Inecuaciones
Límites en inecuaciones
Para calcular el límite de la función polinómica, cuando x tiende a uno, sustituimos el uno en la variable de la ecuación, de esta forma tenemos que el límite de la función cuando x tiende a uno es cuatro, que quiere decir que al acercarnos a uno, tanto por la derecha como por la izquierda, la función se acerca en el eje y al número cuatro.
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La función es discontinua en x=1, ya que al sustituir 1 en x en el denominador lo convierte en 0 y un número entre 0 es infinito, por tanto en x=1 tendría una asíntota vertical.
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En el dibujo tenemos un ejemplo de una función discontinua en el intervalo comprendido entre cero y dos. Como podemos observar hay una asíntota vertical por x igual a uno, (obtenido el valor 1 de x al igualar el denominador a cero), en la que la curva se aproxima al menos infinito según nos aproximamos por la izquierda a la asíntota y se aproxima a la más infinito al aproximarnos por la derecha. Tenemos por tanto que la curva se interrumpe en ese intervalo, por lo que es discontinua.
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Dada la función del rectángulo rojo, se pide calcular el límite de la misma cuando x tiende a dos. Si sustituimos en la fórmula en la variable independiente x, observamos que el cociente es cero partido por cero, una indeterminación matemática que hay que destruir.
En el cuadro central en color rosa observamos la forma de transformar el trinomio del numerador en un producto de binomios: se toma el último término constante, en este caso es -10, se consideran dos números que multiplicados den esa cifra, por ejemplo -2 y 5 o también menos -5 y 2. Al mismo tiempo la suma de ambos debe ser igual al coeficiente del segundo término, tres. Por tanto la solución es 5 y -2. Esto quiere decir que x+5 por x-2 es igual al trinomio del numerador.
Como x-2 está también en el denominador, podemos eliminarlo con lo que nos queda x+5.
Es una recta de pendiente uno (coeficiente que está al lado de la x) y que pasa por el punto cinco.
Ahora podemos calcular el límite de la función cuando x tiende a dos, sustituyendo en la expresión que aparece en el rectángulo azul tenemos que su valor es siete, o lo que es lo mismo, si hacemos una recta vertical por x=2, tenemos que corta a la función en y=7.
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Inversa de una función
Inversa de una función no es lo mismo que función inversa (descrita en el apartado siguiente).
si tenemos una función f (x), su inversa es 1/ f(x)
Las inversas de funciones son aquellas que al aplicarles el producto tenemos como resultado la unidad. En consecuencia para construir una inversa de una función, tenemos que conseguir que numerador y denominador de ambas funciones sean iguales, de manera que al dividir ambos obtenemos como resultado la unidad.
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A continuación mostramos algunas funciones y sus inversas
Funciones inversas o recíprocas
Son aquellas funciones cuya gráfica es simétrica respecto a la función y=x.
Dada la función cuya expresión es la ecuación de color roja, si sustituimos la variable x por x1 en un miembro y por x2 en otro miembro, igualando ambos, como obtenemos que x1=x2, podemos concluir que esta función tiene inversa.
Tomamos la función (rectángulo en color verde) y cambiamos f(x) por y. A continuación intercambiamos x e y. Dejamos sólo la variable dependiente y en el primer miembro y obtenemos de esta manera la función inversa, que es la que aparece en el rectángulo naranja.
Para calcular la función inversa escribimos la ecuación de la función con x e y. Se despeja la variable x en función de la variable dependiente y. Se hace un intercambio de variables obteniendo una nueva función que es la inversa.
Dada la ecuación en color rosa, cambiamos f(x) por y e intercambiamos x e y, como parece en el rectángulo negro. Operamos despejando y sacando factor común tenemos la nueva expresión en el rectángulo naranja, es la función inversa de la dada. como podemos observar es simétrica respecto a la anterior tomando como eje el de simetría del primer cuadrante.
Si por ejemplo sustituimos 2 en x en la ecuación dada, obtenemos que y vale 7. En la función inversa al sustituir en x el valor 7, observamos que y vale 2.
Como podemos observar en la parábola roja vertical, al intercambiar las dos variables, obtenemos la parábola horizontal de color verde. Efectivamente ambas funciones son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante, no obstante tenemos que la parábola verde no es una función pues para algunos elementos de x, como por ejemplo el punto 1, 2,3, etc., corresponde más de un elemento en y.
En el dibujo podemos observar otras dos funciones inversas. La línea azul es inversa de la línea rosa, para calcular la segunda intercambiamos las variables xy de la primera -cuya ecuación está en la elipse roja- y a continuación despejamos y dejamos la variable y en el segundo miembro. Esta nueva ecuación encuadrada en la elipse azul corresponde a la función inversa de la anterior.
Tenemos la ecuación de la parábola vertical en color verde (aparece en el rectángulo rosa), intercambiamos las variables xy y obtenemos la ecuación que aparece en la elipse violeta. Al despejar la variable dependiente y obtenemos la nueva ecuación de la curva inversa de la anterior, como podemos ver en la gráfica, la curva nueva, de color ocre, no existe por debajo de todos los valores que se le puedan dar a y. Por ejemplo, cuando x vale -1, y toma el valor de la raíz cuadrada de un número negativo, como esto no tiene solución, la función deja de existir por debajo de el eje x del sistema cartesiano.
Si sustituimos en la variable independiente el segundo miembro de otra ecuación y obtenemos como resultado una aplicación idéntica tenemos que las funciones son recíprocas o inversas. Esto quiere decir que las gráficas de las dos funciones son dos líneas simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.
Como podemos ver en el dibujo sustituyendo 3x-6 en la variable independiente x de la otra ecuación de color roja, tenemos como resultado la ecuación de la bisectriz del primer cuadrante, en consecuencia ambas rectas son simétricas respecto a esta bisectriz.
En el dibujo podemos ver
dos funciones inversas, la recta de color verde y su simétrica de color roja
con respecto a la bisectriz del primer cuadrante.
En el borde inferior derecho -rectángulo negro- podemos ver cómo
al coger la ecuación de la recta verde y despejar en los términos los
elementos, al dejar la variable x sola, obtenemos x=(y+2)/3, cambiendo variables: y=(x+2)/3 ó y=0.33x+0,666.
Obtenemos así la simétrica de la recta verde que aparece en color
rojo.
También podemos observar la función en color
naranja -cuya ecuación aparece dentro de una elipse naranja en el borde
superior derecho-,observamos cómo al despejar
en la ecuación y dejar la variable x sola obtenemos la nueva ecuación de
la recta - en el rectángulo azul- y al cambiar las variables obtenemos la nueva
ecuación de la curva simétrica de la anterior respecto a la
bisectriz del primer cuadrante - la ecuación aparece en el rectángulo verde de esquinas
redondeadas.
Podemos ver en la gráfica la representación de
las curvas y comprobar que efectivamente son simétricas respecto a la bisectriz
el primer cuadrante.
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Inecuaciones
Una inecuación es una desigualdad, en una ecuación tenemos que un miembro es igual a un segundo miembro, mientras que en una desigualdad o inecuación tenemos que un miembro es menor o mayor o igual que otro.
El ejercicio podemos ver en el rectángulo amarillo una inecuación dada por la expresión -x+2 >6.
Podemos considerar ambos miembros como ecuaciones independientes de esta manera tenemos que y es igual a -x+2 y tenemos también que y es igual a 6.
Si representamos las gráficas de ambas ecuaciones lineales obtenemos dos rectas: la primera tiene pendiente -1, que quiere decir que forma 45° con la horizontal y está dirigida en sentido creciente hacia la izquierda, cortando al eje de las ordenadas en 2, mientras que la segunda es una recta horizontal que pasa por la ordenada seis. La intersección de ambas se resuelve al calcular el punto común que satisface ambas ecuaciones, este punto vale -4, tal y como se puede apreciar en el rectángulo azul. Esto quiere decir que a partir del punto -4, la expresión y =-x+2 es mayor que y=6. Observamos en la gráfica que esto sucede desde el punto -4 hasta el infinito por la izquierda. De esta manera podemos verificar que el símbolo de x>-4 se voltea para que se cumpla la inecuación, según la teoría, la desigualdad se voltea en el momento en que multiplicamos o dividimos negativos, y como tenemos que -x es mayor que 4, el -1 multiplica a la x y pasa dividiendo al otro miembro. De esto se desprende que -4 es mayor que cualquier número o valor que le demos a la inecuación para que se cumpla la desigualdad.
Para verificarlo podemos sustituir en la desigualdad cualquier número menor que -4, por ejemplo el -5, podemos comprobar que efectivamente al sustituirlo en la desigualdad -rectángulo azul- si éste es mayor que seis, en el intervalo desde el menos infinito hasta el -4, se cumple la desigualdad. Ambos elementos van entre paréntesis porque el primero es indeterminado y el -4 no se cumple en la desigualdad, ya que al sustituirlo en la expresión nos daría que seis es mayor que seis, cosa que no es cierta.
En el intervalo desde el -4 hasta el infinito podemos tomar cualquier número y sustituirlo en la expresión y comprobar que efectivamente no cumple la desigualdad, por ejemplo el cero, sustituido en la x daría como resultado que 2 es mayor que 6.
En el dibujo tenemos otro ejemplo de desigualdad, la expresión dentro del rectángulo amarillo, podemos desarrollarla como si fuera una única ecuación de manera que el símbolo mayor que (>) lo podemos considerar como un igual (=). Al despejar tenemos que x = 2. Manteniendo el símbolo mayor que tenemos que x > 2. Volteamos la desigualdad por dividir negativos y tenemos que x debe ser menor que dos. Por tanto todos los valores por debajo de dos y hasta el menos infinito verifican la desigualdad.
Podemos comprobar en la intersección de las dos gráficas de las rectas en el punto de coordenadas (2, -6), que efectivamente por encima de este punto la recta y=-2x+2 es mayor que la recta y=-6. Por tanto todos los puntos a partir del de intersección (dos) verifica la desigualdad según la dirección de la recta hacia la izquierda. Por ejemplo si tomamos el valor -2, al aplicarlo a la desigualdad tenemos que -2 por -2 - 2 es mayor que -6.
Si tomamos otro número por ejemplo el cero, tenemos que -2 × 0 es igual a 0 - 2 es mayor que -6.
Por tanto todos los valores que aparecen sobre la recta horizontal roja, desde el menos infinito hasta el dos, cumplen la desigualdad.
Intersección de desigualdades
En la figura observamos dos desigualdades dentro del rectángulo azul. Al despejar ambas y considerarlas como ecuaciones lineales independientes las representamos obteniendo las dos rectas del dibujo en color azul y verde. Representamos también la ecuación y =0.
Considerando la primera como una ecuación al despejar x obtenemos que -3 es mayor o igual que x. Por tanto, si tomamos el punto -4 y lo sustituimos en la desigualdad, tenemos que -4 que multiplica a dos +6 es menor o igual que cero, si tomamos el punto -3, observamos que al multiplicarlo por dos nos da -6, que, sumado al seis es igual que cero. Por tanto en esta desigualdad se verifica que -3 es mayor o igual que x, esto es válido para todos los puntos reales que van desde el -3 hasta el menos infinito. Como podemos ver es la franja naranja sobre el eje x.
Al despejar la segunda desigualdad tenemos que x es igual o mayor que uno. Por tanto x debe ser mayor o igual que este número, por ejemplo, si tomamos el número tres y lo sustituimos en la variable x, observamos que efectivamente es mayor que uno, por tanto todos los números que van desde el uno, incluido éste, hasta el infinito, cumplen la desigualdad segunda. Como podemos ver es la franja amarilla sobre el eje x.
Como la franja naranja y amarilla no tiene ningún punto en común tenemos que su intersección es el conjunto vacío, esto quiere decir que no hay ningún número que satisfaga ambas desigualdades.
En la imagen podemos observar dos desigualdades en el rectángulo azul. Si consideramos cada miembro de cada una como ecuaciones lineales independientes obtenemos dos rectas que se cortan en los puntos -3 y -1 con la recta y =0.
Otra forma de calcularlo es despejar en cada una de las desigualdades la x y de esta manera obtenemos el mismo número para cada una de ellas.
Como podemos observar en la primera desigualdad, hay que cambiar el sentido del signo de mayor o igual para que se cumpla la desigualdad. Tenemos en consecuencia que en esta desigualdad se cumple que todos los números deben ser mayores o iguales que -3, por tanto desde el -3 hasta el infinito todos los puntos satisfacen la igualdad. Por ejemplo si tomamos el punto -2, al multiplicarlo por -2 obtenemos cuatro, que -6 es - 2, en la desigualdad tenemos que cero es mayor que este número.
Con la segunda desigualdad tenemos que -1 es mayor o igual que x, por tanto todos los números que verifican esta desigualdad van desde el -1 hasta el menos infinito.
Si representamos gráficamente esta línea que va del -1 al menos infinito y la otra de la otra desigualdad que va del -3 al infinito obtenemos el segmento de intersección AD donde se verifican ambas desigualdades.
En el dibujo podemos comprobar intuitivamente que cuatro es el límite de la función cuando x tiende a dos. Podemos verificarlo al dar valores próximos a x=2, tanto por la izquierda como por la derecha, tabulando tenemos que en la primera función al darle a x el valor 1,9, tenemos que y vale 3,61, al darle el valor a x 1,99, tenemos que y vale 3,96, etc., por tanto vemos que al acercarnos a dos por la izquierda la función se va aproximando cada vez más a cuatro, es el límite por la izquierda.
Cuando x se aproxima a dos por la derecha, la función se acerca de la misma manera cada vez más al cuatro, es el límite por la derecha.
Como ambos números coinciden, se puede decir que el límite de la función cuando x tiende a dos es cuatro, ya que como se había dicho una función tiene límite cuando los límites por la izquierda y por la derecha existen y son iguales.
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Límites infinitos.
El límite de una función cuando x tiende a “a”, si es igual a infinito significa que para valores de x próximos a “a”, la función se puede hacer cada vez más grande, mientras que si es igual a menos infinito, se puede hacer cada vez más pequeña.
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Una función es continua cuando se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel, mientras que si se interrumpe la función presenta una discontinuidad y por tanto no es continua.
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Una función es continua cuando se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel, mientras que si se interrumpe la función presenta una discontinuidad y por tanto no es continua.
En esta función evaluamos anteriormente cuando x tendía a 0, ahora observamos que cuando x tiende a uno, al sustituir este número en la variable x tenemos que el denominador sale 0, y un número dividido entre cero es infinito, por lo que la recta x=1 es la asíntota a la que se acerca la hipérbola según nos aproximamos a la unidad, por tanto decimos que la función es discontinua en x=1
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Asíntotas y dominio
En color rojo tenemos una ecuación racional, que es aquella que tiene una fracción polinómica. Si igualamos el denominador a cero, tenemos que la variable x vale tres, eso significa que ésta es la ecuación de la asíntota vertical, ya que si el denominador vale cero tenemos que un número entre cero es infinito por lo que la curva va hacia el infinito en la dirección x=3.
Si calculamos el límite de toda la función cuando tiende a infinito, tendremos una asíntota horizontal. Si sustituimos el infinito en el numerador y denominador en las variables, tenemos una indeterminación matemática (infinito entre infinito). Para que esto no ocurra, dividimos cada uno de los términos por la variable de mayor exponente, que en este caso es uno. Al dividir los elementos de la ecuación por x tenemos que x/x es 1 en el numerador, y en el denominador tenemos x/x que es 1 y - 3 dividido entre infinito que es cero. Por tanto el cociente obtenido es la unidad, y ese es el valor que corresponde a la asíntota , una recta horizontal que pasa por la coordenada 1 del eje y, y cuya ecuación es y=1.
Cuando y = 0, x= 0, es por tanto el punto de corte de la curva con los ejes.
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Asíntota horizontal y vertical
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En este caso tenemos una ecuación equivalente a la anterior, como en el denominador tiene la expresión x-2, tenemos que en este caso la asíntota vertical pasa por el punto 2 del eje x. El resto de la ecuación es igual, por lo que la asíntota horizontal es la misma, ya que en el caso anterior tenemos que dividir tres entre infinito mientras que en este caso dividimos dos entre infinito obteniendo cero unidades por lo que el resultado no se altera.
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En el borde superior izquierdo vemos una función en el rectángulo azul, se ha simplificado hasta obtener una forma más simple.
Para simplificar la función, tomamos dos números que multiplicados sean igual a 12 - último término del trinomio-, tenemos los que aparecen en color azul claro en el rectángulo rosa de la derecha, al mismo tiempo tenemos que sumar esos dos numeros de manera que sea su suma igual a -8, observamos por tanto que el primer caso (-6) (-2) de los dos encontrados anteriormente cumplen la condición, a saber, que su producto es igual a +12 y que su suma es igual a -8.
Tomando el denominador e igualándolo a cero obtenemos el valor de la asíntota vertical.
Para la asíntota horizontal, aplicamos el límite a toda la función cuando tiende a más y menos infinito. Como el exponente mayor del numerador y el del denominador son iguales y sus coeficientes la unidad, la asíntota horizontal pasa por y=1.
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Para calcular la asíntota horizontal hacemos el límite de la misma cuando x tiende a infinito, al dividir los términos del numerador y denominador por la variable de mayor exponente -2-, en este caso x al cuadrado, tenemos que el cociente entre ambos es dos. Por tanto la asíntota horizontal pasa por el punto dos del eje vertical y tiene por ecuación y=2.
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En la ecuación de esta curva aplicamos el límite de x cuando tiende a infinito y al dividir los términos por la variable de mayor exponente tenemos que el cociente resultante es uno, por tanto la asíntota horizontal pasa por el punto uno del eje vertical y su ecuación es y=1.
Según la regla de L'Hôpital, podemos evaluar el límite de la función en su forma indeterminada al aplicar la derivada al numerador y denominador (en vez de dividir los términos de la ecuación por la variable de mayor exponente). De esta manera tenemos que la derivada del numerador - que es x al cuadrado- derivando tenemos que el exponente queda multiplicando a la variable y a la variable se les resta uno al exponente. En el denominador al derivar hacemos lo mismo en cada término: multiplicamos el exponente de cada variable por su término correspondiente, restando una unidad a la variable. de esta manera obtenemos al diferenciar 2x la constante 2 en un numerador y denominador, por tanto 1 es el valor de la asíntota horizontal.
Para las asíntotas verticales igualamos el denominador a cero y resolvemos la ecuación de segundo grado obteniendo las dos soluciones: 2 y 1. Por estos puntos del eje x pasan las dos asíntotas verticales.
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Dada la función que aparece en el rectángulo rojo, se pide calcular la tangente en el punto cuya abscisa es 0, así como las asíntotas de la curva y su gráfica.
Para calcular la tangente hacemos la derivada: el término del denominador pasa al numerador convirtiendo su exponente en negativo, g'(x) - la derivada- la calculamos tomando el exponente -1/5 y lo multiplicamos por toda la función, restándole al binomio exponencial una unidad y multiplicando al final por la derivada de lo que aparece dentro del binomio, (-2x).
La derivada aparece en el cuadro de color rosa a la derecha, la simplificamos y g'(x) lo igualamos a cero, obteniendo 0 de pendiente de la recta, por tanto es una línea horizontal. Para calcular el punto donde hemos hecho la tangente sustituimos el cero en la ecuación original, obteniendo el valor de g(x), que es tres. El punto de coordenadas (0,3) es por donde hemos hecho la tangente horizontal al calcular la derivada, es por tanto un punto crítico, un máximo o mínimo, sí anteriormente a este punto la función decrece y a continuación de éste punto crece, tendríamos entonces un mínimo.
Para calcular la asíntota horizontal aplicamos el límite cuando x tiende a infinito de toda la función, obteniendo el valor de y, qué es 0. La ecuación de la recta asíntota horizontal es y =0.
Para calcular las asíntotas verticales igualamos el denominador a cero y calculamos los valores de la variable independiente x, que son 1 y -1.
Para calcular por donde pasan las ramas de la curva, aplicamos el límite a la función en los puntos próximos cuando x tiende a +1 y -1, de esta forma sabemos si por la asíntota x=1 se acerca a más infinito por la izquierda o por la derecha, y si se acerca a menos infinito por la izquierda o por la derecha. o también sustituimos valores próximos a los puntos en x por donde pasan las asíntotas.
Por ejemplo, al tomar el valor 0,99 (uno positivo por la izquierda) en x y sustituirlo la función, obtenemos un valor positivo muy alto, por tanto la curva entre el cero y el uno es creciente hacia el infinito positivo.
Si tomamos el valor 1,01 y lo sustituimos en la variable x, obtenemos un valor para y muy próximo al infinito negativo.
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Asíntota oblicua:
Para calcular la ecuación de una asíntota oblicua de una función tenemos que ésta queda definida por la siguiente expresión: y = mx + n.
En la expresión tenemos que m es la pendiente, mientras que n es el punto de intersección de la recta asíntota con el eje vertical de las ordenadas.
Para calcular m tenemos que aplicar el límite a toda la función dividida entre x cuando x tiende a más menos infinito.
Para calcular n tenemos que aplicar el límite de la función cuando x tiende a más menos infinito y restarle el producto de la pendiente m calculada anteriormente por x.
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Para calcular la constante n de la asíntota oblicua calculamos el límite de la función cuando x tiende a más menos infinito, menos el producto de la pendiente calculada anteriormente por x.
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Dada la función en el borde inferior izquierdo en color rojo, se pide calcular sus asíntotas. Según el rectángulo de color ocre en el borde superior izquierdo, tenemos el denominador de la función igualado a cero, despejando la x tenemos los valores 2 y -2, son las asíntotas verticales.
Para calcular la asíntota horizontal aplicamos el límite de toda la función cuando x tiende a más menos infinito, dividiendo numerador y denominador por la variable con el exponente mayor, esto es, x al cubo, tenemos que en el denominador queda cero y en el numerador queda uno, cuyo cociente es infinito, podemos decir que no tiene asíntota horizontal.
Para calcular la asíntota oblicua, procedemos como en el ejercicio anterior, la ecuación de la recta es y=mx+n. La pendiente m es el límite de la función dividido entre la variable x cuando x tiende a más menos infinito, operando tenemos que la pendiente vale uno, por tanto es una recta que forma 45° con el eje x horizontal.
Para calcular n -la intersección de la recta con el eje vertical y- restamos a la función la pendiente multiplicada por la variable x y aplicamos a todo el límite cuando x tiende a más menos infinito, el resultado es cero, esto quiere decir que la recta verde (asíntota oblicua) tiene por ecuación y=x, que quiere decir también que pasa por el origen de coordenadas, por tanto la asíntota oblicua es la bisectriz de los dos ejes coordenados.
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En la figura tenemos en un rectángulo rojo la ecuación de una curva a la que denominamos u al numerador y v al denominador. la derivada se obtiene tal y como parece debajo: la derivada de u por v menos la derivada de v por u, dividido todo por v al cuadrado.
Sustituimos todos los datos y simplificamos obteniendo la derivada que aparece en el rectángulo azul.
Igualándola a cero tenemos que el numerador es igual a cero y resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos los dos valores de x, que son dos puntos por cuyas líneas verticales pasan el máximo y el mínimo de la función.
En este dibujo tenemos el ejercicio anterior pero aquí vamos a calcular la asíntota oblicua mediante un método distinto al del ejercicio anterior: dividimos el numerador entre el denominador y obtenemos el cociente que igualado a y es la ecuación de la recta asíntota oblicua, tal y como aparece dentro del rectángulo azul.
Inmediatamente debajo, en el rectángulo violeta, observamos que al multiplicar el divisor por el cociente, obtenemos x al cuadrado -9, que sumándole el resto, determina el dividendo de la división.
Para calcular la asíntota vertical igualamos el denominador a cero, teniendo que x es igual a tres.
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En el siguiente cuadro podemos ver un esquema acerca de las asíntotas:
Si el grado (mayor exponente de la variable x) del numerador es menor o igual que el grado del denominador, tenemos una asíntota horizontal.
Si el grado del numerador menos el grado del denominador es igual a uno, tenemos una asíntota oblicua.
Cuando al grado del numerador le restamos el grado del denominador y obtenemos un valor mayor o igual que dos, tenemos que la curva tiene alguna rama parabólica.
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Punto de inflexión
Una función admite un punto de inflexión si el punto separa un intervalo cóncavo hacia +y de otro cóncavo hacia -y o viceversa.
Un punto de inflexión es un punto de cambio de concavidad.
En un punto de inflexión debe cumplirse que la segunda derivada es igual a 0
f ’’ (xo) = 0
Por tanto en dicho punto la recta tangente corta la curva de modo que a un lado del punto la curva está situada por debajo de la tangente y al otro lado por encima de esta.
Al igualar la segunda derivada cero por regla general podemos obtener lo que puede ser un punto de inflexión, qué es un punto en el que cambia la curva de cóncava a convexa o recíprocamente. No obstante la tercera derivada es la que nos da con seguridad que hay un punto de inflexión siempre y cuando sea distinta de cero, para ello sustituiremos los valores de la segunda derivada y debe dar distinto de cero.
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Igualando la primera derivada a cero -en el rectángulo del medio- obtenemos para x dos valores, como ambos son con raíces cuadradas de números negativos, la función no tiene máximo ni mínimo.
Igualamos la segunda derivada a cero -operación realizada en el rectángulo inferior- y tenemos que x es igual a cero, por tanto el punto de inflexión tiene por abscisa 0 y ordenada tres, ya que si sustituimos en la función el cero en la variable x tenemos que el valor de y es tres.
En el dibujo podemos ver una curva cúbica en color rosa, cuya ecuación aparece como primera expresión en el rectángulo superior. Inmediatamente en la línea inferior en color azul claro tenemos su primera derivada y debajo en color azul más oscuro tenemos la segunda derivada.
Como podemos ver en la gráfica la primera derivada es una parábola que no corta al eje x, por tanto cuando y es igual a cero no tiene solución y en consecuencia no tiene ni máximos ni mínimos. Para calcularlo, igualamos la primera derivada a cero y al despejar la variable x observamos que nos da la raíz de un número negativo, número imaginario que no tiene solución.
Para obtener el punto de inflexión igualamos la segunda derivada a cero, al despejar la variable x tenemos que su valor es cero, por tanto la coordenada en x igual a cero es por donde pasa el punto de inflexión.
Si queremos calcular su coordenada en y, sustituimos en la variable x de la ecuación el valor cero, obteniendo el valor de y que es tres.
Conviene hacer la derivada a la izquierda y a la derecha de ese número obtenido por dónde puede pasar el punto de inflexión, para ver si pasa de cóncava convexa o recíprocamente, de esta manera podemos asegurar de que hay punto de inflexión.
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En el dibujo tenemos una curva de la que calculamos sus asíntotas, para calcular las asíntotas verticales igualamos el denominador a cero, al despejar la variable x tenemos que toma los dos valores +3 y -3.
Para calcular la asíntota horizontal, aplicamos el límite de toda la función cuando x tiende a más menos infinito, al dividir el numerador y denominador por la variable con el mayor exponente, que en este caso es el dos, tenemos uno partido uno, por tanto, tiene una asíntota horizontal cuya ecuación es y=1.
Para calcular donde la curva corta a los ejes cartesianos, igualamos la variable dependiente y=0, de esta manera tenemos que x es igual a +1,4 y -1,4.
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Dominio
El dominio es donde la función está definida, cualquier número real de la función que tenga imagen.
Por ejemplo, si sustituimos en una función un valor cualquiera en x y obtenemos su correspondiente en f(x), eso quiere decir que la función está definida en ese punto y que por tanto forma parte del dominio de la función.
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Dominio de una función logarítmica
No existe el logaritmo de un número negativo, por tanto los valores en los que no existe la función son aquellos que están comprendidos entre las dos asíntotas x=2 y=2, ya que al tomar un valor entre ambas, por ejemplo el uno, tenemos que la función queda logaritmo de 1 al cuadrado -4, que es logaritmo de -3, un número negativo, y no hay ningún número que elevado a un exponente dé un número negativo, por tanto el dominio de la función queda comprendido entre el menos infinito y el -2, ambos excluidos y entre el dos y el infinito, también excluidos.
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Dominio de una función racional
Tenemos una función racional, si el denominador es igual a cero, tenemos unas asíntotas y sabemos que sobre estas líneas no existe la función. Podemos igualar el denominador a cero, y obtenemos las asíntotas por x = -2 y x= +2.
Podemos realizar una y inecuación para ver dónde existe la curva: tomamos un valor entre menos infinito y -2, otro valor entre -2 y 2, y por último otro valor entre dos e infinito.
Si sustituimos en el primer tramo, por ejemplo el punto -3, vemos que y tiene su propio valor, si tomamos el cero como elemento comprendido entre -2 y +2, observamos que en el denominador queda raíz de un número negativo, por tanto la función no existe en este intervalo.
Si tomamos para x el punto tres, observamos que y existe y por tanto la función también.
Por tanto, el dominio de la función está comprendido entre el menos infinito y el -2, ambos abiertos ya que no forman parte de la existencia real de la función, unido a lo siguiente, desde el dos al infinito también ambos abiertos.
El infinito siempre está abierto y el -2 y el 2 también están abiertos ya que es por donde pasan las asíntotas.
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Dominio de una función radical
En la figura observamos una función radical, un binomio elevado a un medio, que es lo mismo que raíz cuadrada del binomio. Para calcular el dominio de una función radical tenemos que el binomio o los términos que estén dentro de la raíz deben ser mayores o igual que 0, ya que no existe un valor real para la raíz de un número negativo.
Haciendo la inecuación, o bien igualando el binomio a cero tenemos que x es igual a +2 y es igual a -2.
Damos valores entre los tres intervalos para comprobar donde existe la función en y: tomamos un punto comprendido entre el menos infinito y el -2, por ejemplo el -3 y lo sustituimos en la función, como obtenemos un valor real para y, la función existe.
Hacemos lo mismo en el tramo comprendido entre el punto -2 y el punto +2, por ejemplo el punto cero, al sustituir en la ecuación observamos que sale la raíz de un número negativo, por tanto no existe en este intervalo.
A sustituir en el tramo comprendido entre el dos positivo y el infinito positivo, por ejemplo en el punto tres positivo, observamos que la función si existe.
Por tanto el dominio queda comprendido entre el menos infinito (abierto) y el -2, este último incluido y entre el dos positivo incluido y el infinito positivo (abierto).
El dos, tanto positivo como negativo, al ser sustituido en la ecuación obtenemos el valor cero y la raíz de cero existe, por tanto el punto dos está integrado dentro del dominio, tanto en su valor positivo como en su valor negativo.
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Dominio de una función racional
En esta función racional igualamos el denominador a cero obteniendo los dos valores de la x, estos dos valores hacen que siendo el denominador igual a cero tengamos que y es igual a infinito, por tanto por -2 y por +2 pasan las asíntotas. Para todos los demás puntos la función existe para x y para y, por tanto el dominio de la función es el conjunto de todos los números reales excepto el +2 y el -2.
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Dominio de una función exponencial
Para una función exponencial tenemos que el dominio es el conjunto de todos los números reales, ya que sustituyendo en la x cualquier número, obtenemos para f(x) siempre un número real, esto quiere decir que cada punto en x tiene su correspondiente sobre el eje de las ordenadas.
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Dominio de una función exponencial
Si igualamos el denominador a cero, calculamos las asíntotas verticales que pasan por las dos soluciones, 2 y -2. si aplicamos el límite a toda función cuando x tiende a infinito obtenemos como resultado el cero, esto quiere decir que esta es la asíntota horizontal de la función, una línea cuya ecuación es y=0 y que coincide con el eje x o de las abscisas. Por tanto en la dirección de las tres asíntotas la curva va hacia el infinito.
El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales menos los dos puntos correspondientes a las asíntotas verticales, el 2 y -2.
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Dominio de una función racional
Los intervalos que acotan los distintos elementos: menos infinito, -3,3, infinito, aparecen abiertos (paréntesis en vez de corchete) esto significa que estos puntos no pertenecen al dominio de la ecuación de la curva. Por ejemplo a sustituir el tres en la ecuación, obtenemos en el denominador la raíz de cero y un número entre cero es infinito, y el infinito siempre lleva un paréntesis por ser un número indefinido o indeterminado.
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Dominio de una función radical
En esta ecuación vuelve a suceder lo de antes, entre -2 y 2 tenemos un intervalo en el que al dar valores a la variable x de la ecuación obtenemos raíces de números negativos sin solución, por tanto esto quiere decir que la curva no existe en ese intervalo.
No obstante a diferencia del ejercicio anterior, si sustituimos el punto dos en la ecuación obtenemos que la variable dependiente vale cero, por tanto el punto dos tiene como imagen el cero y eso significa que la curva existe en el punto B, por tanto el dominio está comprendido entre menos infinito y -2 y además entre el dos y el infinito. Como 2 y -2 satisfacen la ecuación obteniendo su imagen para cada punto, tenemos que éstos deben estar indicados en el dominio mediante un intervalo cerrado.
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Dominio de una función racional
Si aplicamos el límite a la función cuando x tiende a infinito, obtendremos como solución el cero, como podemos ver en la gráfica de la curva, efectivamente, al acercarnos tanto por la derecha como por la izquierda hacia el infinito positivo y negativo, respectivamente, tenemos que la función tiende hacia cero.
a mayor valor que le damos a un punto de la función sobre el eje x (cuando nos acercamos hacia el infinito por el eje x), por ejemplo el número siete -un punto que se puede ver en la gráfica-, tenemos que su coordenada correspondiente en y se acerca cada vez más hacia el cero.
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Si tenemos la función (x-3) elevada a un tercio, o lo que es lo mismo, la raíz cúbica de x-3, al darle valores a la x, observamos que f(x) tiene siempre su coordenada correspondiente, por tanto el dominio de la función o valores en los que existe una imagen de cada punto de x es el conjunto de todos los números reales, desde el menos infinito hasta el infinito, excluidos estos.
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Dominio de una función radical
Tenemos una función radical: x elevado a un medio.
Los valores que tienen imagen son aquellos comprendidos entre el cero y el infinito, incluido el primero, ya que raíz cuadrada de cero tiene un valor real, es cero.
Por tanto el dominio de la función es desde el cero, éste incluido, hasta el más infinito no incluido por no ser un número real.
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Dominio de una función logarítmica
En el dibujo tenemos la función y = logaritmo neperiano de x y cuya derivada es y'=1/x.
Si en la función sustituimos en x el valor uno, tenemos en f(x) el valor 1, esto quiere decir que la pendiente en ese punto vale uno.
Si sustituimos en la misma función 0 en x, tenemos que uno dividido entre 0 es igual a infinito, por tanto la pendiente de la recta tangente en el punto de coordenada 0 es igual a infinito, o lo que es lo mismo, la recta x=0 es una asíntota vertical que pasa por el origen de coordenadas tangente a la curva el infinito.
Como ya se vio antes, el dominio de la función logarítmica está comprendida entre el cero y el infinito positivo, ambos abiertos ya que ambos no tienen imagen en y.
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Dominio de una función racional
Si ahora tomamos la derivada del ejercicio anterior y la representamos observamos que es una hipérbola equilátera cuyas asíntotas son los ejes cartesianos. Si aplicamos el límite de la función cuando x tiende a infinito, tenemos que y es igual a cero. Por tanto tenemos una asíntota horizontal por el origen de coordenadas.
De igual forma igualando el denominador a cero tenemos la otra ecuación de la recta asíntotica vertical, de ecuación x=0.
Para saber las ramas qué lugar ocupan de los cuatro cuadrantes aplicamos el límite de toda la función cuando x tiende a 0 positivo, un número ligeramente mayor que cero, por ejemplo 0,1. Sustituyendo en la ecuación y aplicando el límite tenemos que para 0,1 en x el valor es infinito positivo, por tanto la rama hipérbolica está en el primer cuadrante.
Si tomamos el punto -0,1, observamos que el límite de la función es menos infinito, por lo tanto la otra rama es, obviamente simétrica central respecto al origen de coordenadas.
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Dominio de una función radical
Tenemos una función radical: x elevado a un medio.
Los valores que tienen imagen son aquellos comprendidos entre el cero y el infinito, incluido el primero, ya que raíz cuadrada de cero tiene un valor real, es cero.
Por tanto el dominio de la función es desde el cero, éste incluido, hasta el más infinito no incluido por no ser un número real.
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Dominio de una función logarítmica
En el dibujo tenemos la función y = logaritmo neperiano de x y cuya derivada es y'=1/x.
Si en la función sustituimos en x el valor uno, tenemos en f(x) el valor 1, esto quiere decir que la pendiente en ese punto vale uno.
Si sustituimos en la misma función 0 en x, tenemos que uno dividido entre 0 es igual a infinito, por tanto la pendiente de la recta tangente en el punto de coordenada 0 es igual a infinito, o lo que es lo mismo, la recta x=0 es una asíntota vertical que pasa por el origen de coordenadas tangente a la curva el infinito.
Como ya se vio antes, el dominio de la función logarítmica está comprendida entre el cero y el infinito positivo, ambos abiertos ya que ambos no tienen imagen en y.
Dominio de una función racional
Si ahora tomamos la derivada del ejercicio anterior y la representamos observamos que es una hipérbola equilátera cuyas asíntotas son los ejes cartesianos. Si aplicamos el límite de la función cuando x tiende a infinito, tenemos que y es igual a cero. Por tanto tenemos una asíntota horizontal por el origen de coordenadas.
De igual forma igualando el denominador a cero tenemos la otra ecuación de la recta asíntotica vertical, de ecuación x=0.
Para saber las ramas qué lugar ocupan de los cuatro cuadrantes aplicamos el límite de toda la función cuando x tiende a 0 positivo, un número ligeramente mayor que cero, por ejemplo 0,1. Sustituyendo en la ecuación y aplicando el límite tenemos que para 0,1 en x el valor es infinito positivo, por tanto la rama hipérbolica está en el primer cuadrante.
Si tomamos el punto -0,1, observamos que el límite de la función es menos infinito, por lo tanto la otra rama es, obviamente simétrica central respecto al origen de coordenadas.
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Regla de Ruffini para descomponer en binomios
Dada la función que aparece en el cuadro verde, podemos descomponerla en binomios, tanto el numerador como el denominador, para simplificarla. Por ejemplo, si tomamos el numerador, podemos calcular las soluciones de la ecuación de segundo grado que son 3 y -2, cambiando de signo a ambas tenemos que el trinomio se puede escribir como el producto de x+2 por x-3.
Otra opción es aplicar la regla de Ruffiini, considerando los divisores del último término constante 6, escribimos los coeficientes de la expresión en una fila y a continuación vamos probando a la izquierda los divisores. Por ejemplo vamos a tomar los dos casos que aparecen señalados con dos flechas de color verde, primero la que corresponde al centro del dibujo y luego la que corresponde a la derecha del dibujo, en el primer caso para -3 (colocado a la izquierda en el centro), bajamos el 1 (primer coeficiente de la fila) y lo multiplicamos por -3 (el punto anterior), obteniendo -3 (lo colocamos debajo del segundo coeficiente), lo sumamos al siguiente término -3 más -1 tenemos -4. Lo multiplicamos por -3 y tenemos 12 positivo, que sumado a -6 tenemos 6 positivo. Como el resto no da cero, no sirve.
Probamos con el tres, bajamos el uno y lo multiplicamos por el tres obteniendo tres positivo, lo sumamos al -4-tenemos -1, lo multiplicamos por el tres y tenemos -3, lo sumamos al tres y obtenemos cero. Por tanto el punto tres nos vale eso quiere decir que x-3 va a multiplicar a otro binomio para dar como resultado esa expresión.
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Funciones crecientes, decrecientes y monótonas.
Función creciente en un intervalo es cuando dentro del intervalo elegido, cogemos dos puntos, si la coordenada en x del primero es mayor o igual que la del segundo, su imagen o ordenada en y del primero también es mayor o igual que la imagen del segundo.
Por ejemplo, en la gráfica, tomamos el punto de la curva (2,0), si tomamos otro punto, por ejemplo el de coordenadas (1, -3). Observamos que la coordenada en x del primero es mayor que la del segundo, asimismo la coordenada en y del primero es mayor que la del segundo, por tanto la función crece hacia la derecha, al menos desde esos dos puntos, el intervalo desde el uno hasta el dos.
En la función decreciente por contra, siendo la coordenada en x de un punto menor que la de otro, no obstante la coordenada o imagen correspondiente en y del primero es mayor que la del segundo.
Por ejemplo, si tomamos el punto A, de coordenadas (0,75, -3,13) y tomamos otro punto de la curva, por ejemplo el de coordenadas (-2,0). Podemos observar que la coordenada en x del primero es mayor que la del segundo y que sin embargo con las coordenadas en y, sucede lo contrario.
Podemos decir que una función es monótona dentro del intervalo si siempre permanece en ese intervalo creciente, decreciente o constante. Por ejemplo, en la función parabólica, tenemos que desde menos infinito hasta el punto de coordenadas en x 0,75, es monótona decreciente, mientras que desde este punto hasta el infinito es monótona creciente.
Las ecuaciones lineales representan a rectas que son siempre crecientes (con pendiente positiva), decrecientes (con pendiente negativa) o constantes (con pendiente cero o infinito respectivamente, esto es, horizontal o vertical).
En esta función, que está determinada por varias desigualdades pertenecientes a distintas rectas, hemos marcado con un trozo más grueso el conjunto de tres estamentos quebrados que determinan la línea a estudiar. Es una función siempre creciente por lo que las líneas son horizontales o están giradas hacia la derecha por arriba y es monótona ya que es siempre creciente en los intervalos estudiados.
Podemos analizar la composición de rectas en distintos intervalos (recta de la gráfica anterior), por ejemplo la función compuesta por segmentos de tres rectas en distintos intervalos, es siempre creciente y monótona. La recta roja es creciente hasta el intervalo x menor que cero, justo a partir del que aparece la recta constante en la que cero es menor o igual que x y tres mayor o igual que x.
La recta azul es creciente a partir del intervalo x >3.
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En el dibujo tenemos la representación de las tres funciones, la primera en color azul con forma de s girada 90°, su derivada, una parábola de color violeta y la derivada de esta parábola que es la recta verde.
Observamos que entre el menos infinito y el punto uno es creciente con un máximo relativo en (1,0), entre el punto uno y el punto tres es decreciente, éste último corresponde a su mínimo relativo (3, -4) mientras que del tres al infinito es creciente. Los puntos críticos (máximo y mínimo), los obtenemos igualando la primera derivada a cero.
El dominio de la función es desde menos infinito hasta más infinito (todos los números reales), ya que para cualquier valor que le demos a x obtenemos su imagen en y. La función es continua que quiere decir que la podemos dibujar enteramente hasta el infinito positivo y negativo sin levantar el lápiz del papel.
El punto de inflexión lo calculamos igualando la segunda derivada a cero, obteniendo el punto 2, que corresponde a la coordenada en x.
Conviene hacer la derivada a la izquierda y a la derecha de ese número obtenido por dónde puede pasar el punto de inflexión, para ver si pasa de cóncava convexa o recíprocamente, de esta manera podemos asegurar de que hay punto de inflexión.
Los puntos de intersección de la curva dada con los ejes cartesianos se obtienen al sustituir en la función x por cero e y por cero. Cuando sustituimos y por cero obtenemos el valor sobre el eje x, recíprocamente cuando sustituimos x por cero obtenemos el valor sobre el eje y. Por ejemplo, si sustituimos o le damos a x el valor cero en la ecuación original, obtenemos que el valor de y es igual a -4. Por tanto cuando x vale cero y vale -4, este es el punto de intersección de la curva con el eje vertical.
La ecuación como no tiene asíntotas, está formada por dos curvas parabólicas.
Calculo de la intersección de una curva con los ejes cartesianos.
Para calcular la intersección de cualquier curva con los ejes cartesianos sustituimos en la variable x el punto cero y obtenemos el valor de y, eso quiere decir que cuando x vale cero, y vale el valor calculado. Recíprocamente sustituimos la variable y por cero, obteniendo los valores de x, que en este caso son dos soluciones, aunque generalmente suelen ser tres.
En el dibujo tenemos la gráfica de la función anterior, como es una cúbica vamos a calcular las tres soluciones que tiene cuando f(x) es igual a cero:
En la parte superior derecha tenemos la función igualada a cero, por debajo del eje x colocamos - el cuadro amarillo- los valores que le vamos a dar a x (-3, -2, -1,0, 1,2, 3,4), mientras que en la parte superior - dentro de la elipse azul- colocamos los coeficientes de cada uno de los términos de la función dada: 1, -6,9, -4.
Por debajo del uno de la elipse colocamos unos en una columna vertical, multiplicamos el primer término de la columna amarilla: -3 × 1 obtenemos -3, le sumamos el siguiente término de la elipse azul (-6) y obtenemos -9. El siguiente punto (36), lo obtenemos según el mismo procedimiento: multiplicamos -3 por -9 y obtenemos 27, le sumamos nueve y obtenemos 36. El siguiente punto: multiplicamos 36 por -3 y le sumamos -4, obteniendo -112.
Otro ejemplo, para el 1 en x (columna amarilla), multiplicamos el uno de la columna amarilla por el uno de la primera columna obteniendo la unidad que sumada a -6 tenemos -5, multiplicamos -5 × 1 y obtenemos -5 que sumado a nueve tenemos cuatro positivo, lo multiplicamos nuevamente por uno y obtenemos cuatro que sumado al -4 hace que obtengamos cero, esto quiere decir que cuando x vale uno, y vale cero.
Otro ejemplo, en la última fila tomamos el valor cuatro (del rectángulo amarillo), lo multiplicamos por el uno que es el valor de la primera columna obteniendo cuatro y lo sumamos a -6 obteniendo -2, lo colocamos en la base de la segunda columna blanca. Multiplicamos -2 × 4 y obtenemos -8, que sumado a nueve (tercer número de la elipse azul), obtenemos uno (base de la columna blanca tercera). Multiplicamos el uno obtenido anteriormente por el cuatro de la columna amarilla y obtenemos cuatro, que sumado al último número de la fila que está dentro de la elipse azul, obtenemos cero como resultado. Por tanto cuando x vale cuatro, y vale cero.
Mediante este procedimiento hemos obtenido a partir de todos los valores de x (elegidos al azar y situados en el rectángulo amarillo) todos los valores de f (x) (que son los que aparecen dentro del rectángulo verde).
Límite de funciones inversas
Si queremos calcular la relación que existe entre los límites de dos curvas inversas cuando tienden a un mismo elemento, debemos dividir la unidad por el límite de la otra función, de esta manera obtenemos el límite de la función inversa. Por ejemplo, en la gráfica observamos que cuando x tiende al -1, la curva tiende en el eje y a -1/2. Mientras que la hipérbola verde cuando x tiende al -1, y tiende a -2.
Efectivamente, al dividir uno entre el límite de la segunda función, obtenemos el límite de la primera, que es 1/-2.
Por tanto para obtener el límite de una función inversa de otra lo que tenemos que hacer es voltear la fracción, transformar a/b en b/a.
Límite de la suma de dos funciones
Si una función tiene por límite la constante a y otra tiene por límite la constante b, si sumamos las dos funciones y aplicamos el límite cuando tiende hacia un mismo punto, tenemos un valor que es igual a la suma de los límites correspondientes de las funciones.
Como podemos observar en la gráfica, la parábola cuando x tiende a tres, y tiende a cero, mientras que la recta cuando x tiende a tres, y es igual a -2. La suma de ambas constantes es igual al límite de la suma de las dos funciones.
Funciones divergentes
Una función es divergente en un punto cuando tiene límites infinitos, cuando el resultado del límite de la función cuando x tiende a algún número es más infinito o menos infinito, por ejemplo las dos funciones divergentes del dibujo muestran dos funciones en las que cuando x tiende a infinito, la primera función tiende hacia el infinito positivo mientras que la segunda función tiende hacia el infinito negativo.
En este ejemplo de una hipérbola equilátera tenemos una expresión con un límite infinito, en el primer caso x tiende a cero y el límite de las función es infinito, ello significa que para valores de x próximos a cero, la función se va haciendo cada vez más grande hasta llegar al infinito. Cuando nos acercamos al cero de derecha e izquierda observamos que la función tiende al infinito positivo, mientras que cuando nos acercamos al cero de izquierda a derecha observamos que la función tiende a menos infinito.
Recíprocamente, cuando x tiende a infinito, la función se acerca cada vez más hacia el cero.
Recíprocamente, cuando x tiende a infinito, la función se acerca cada vez más hacia el cero.
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Derivada
El incremento de una variable x es la variación que experimenta al pasar de un valor a otro, se llama incremento de x.
En general, para un valor fijo de x igual a “a”, si el incremento en el eje x es positivo, “a” más el incremento en x está situado a la derecha de la “a”, mientras que si el incremento de x es negativo, está situado a la izquierda de “a”.
Si tenemos una función f(x) en la que la variable x pasa del valor al valor “a” +1 incremento en x, la variable y pasará del valor de f(a) al valor de la función anterior más el incremento en x menos f(a). El valor del incremento sobre el eje y proporciona una idea de la rapidez con que la función crece o decrece cuando x varía en el incremento de x.
La interpretación geométrica del cociente del incremento es que coincide con la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta que pasa por dos puntos de la curva con el eje x (en sentido positivo o contrario al giro de las agujas de un reloj) esto es, es la pendiente de la recta.
La rapidez media de variación de una función es diferente en cada uno de sus puntos, además será más precisa la rapidez en un punto cuanto menor sea el incremento en x, por ello debemos establecer un límite entre el cociente del incremento de y y el incremento de x cuando el incremento de x tiende a cero. Este límite es la derivada de la función en un punto de abscisa x y se designa por f’(x) o y’.
Para interpretar geométricamente la derivada podemos llegar al concepto de recta tangente a una curva en un punto de la curva. Si consideramos otro punto de la curva tenemos que determina con el punto anterior una recta secante. Si la secante se mueve teniendo su centro invariante en el primer punto, cuando el segundo punto se desplaza coincidiendo sobre la recta y curva y acercándose al punto primero, la secante va tomando distintas posiciones hasta tender a una posición límite, que es la tangente a la curva en ese punto original.
Cuando la recta secante tiende a ser una recta tangente, podemos decir que el incremento en x tiende a cero, el ángulo que formaba la recta secante con el eje x tiende a ser el mismo ángulo que forma la tangente con x , en consecuencia la derivada de la función es el límite entre el cociente del incremento de y, y el incremento de x cuando el incremento de x tiende a cero.
Por tanto la derivada de una función en un punto coincide con la pendiente o coeficiente angular de la recta tangente a la curva de ecuación f(x) en dicho punto.
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Interpretación geométrica de la derivada
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Interpretación geométrica de la derivada
Si tomamos los valores de la variable dependiente en función de x, tenemos que las coordenadas de un punto vienen definidas por x, f (x) -por ejemplo, concretando en el dibujo, son las coordenadas que corresponden al punto (1,1).
Como podemos ver en el punto superior -de coordenadas (1,75, 3,1)-, se establece un incremento en x en la coordenada del punto respecto al anterior, por lo que lo nombramos x más incremento de x. Su coordenada correspondiente al eje y estará en función de ese punto, por tanto será f de x más incremento de x.
Como sabemos la pendiente de una recta es el incremento de y entre el incremento de x, si aplicamos el límite a este cociente cuando el incremento de x tiende a ser cero, tenemos que la recta secante que pasa por los puntos anteriores de los que se han dado las coordenadas, se convierte en una recta tangente; la pendiente de la recta tangente en ese punto es la derivada, de esta manera podemos escribir que es el límite cuando el incremento de x tiende a cero del incremento de y entre el incremento de x, pero tomando las coordenadas tal y como aparecen en la gráfica, el incremento de y es f de x más incremento de x menos f de x, esto es, lo que aparece en el rectángulo inferior.
Cálculo de derivada
En el dibujo podemos ver una función exponencial h(x), un término U entre paréntesis elevado a un exponente n.Cuando queremos calcular su derivada h'(x), tomamos el exponente n y lo multiplicamos por la función U elevándola al exponente original n menos una unidad (n-1), haciendo el producto a continuación con la derivada del elemento o elementos que está dentro del paréntesis.
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Derivada en x =1
En este ejercicio hemos calculado siguiendo el fundamento de la derivada, la pendiente y la ecuación de la recta tangente en x igual a uno de la curva parabólica dada.
Primero calculamos las coordenadas del punto por el que vamos a calcular la tangente a la curva, sustituimos el uno en la ecuación dada, que es la que aparece en el rectángulo amarillo. Al despejar la variable independiente y obtenemos su valor que es cuatro, tal y como parece en el rectángulo verde inferior.
A continuación se muestra en el rectángulo marrón la ecuación de la parábola. Debajo aparece un rectángulo azul en el que se calcula la distancia focal para representar la curva, sustituyendo los datos después de despejar el tres, tenemos que 4p es igual a uno, por tanto la distancia focal o longitud entre FV es un cuarto.
En el rectángulo inferior de color verde claro aparece la fórmula de la derivada de la que vamos a hacer los cuatro pasos: primero tomamos la función y sustituimos el valor del punto donde queremos calcular la tangente, de esta manera tenemos que su valor es cuatro. En el rectángulo inferior azul claro analizamos la función con el incremento, sustituyendo en la variable x más incremento de x, la función en el punto uno más su incremento, de esta manera tenemos la expresión que aparece al final en un rectángulo gris, dentro del anterior. Al sustituir por último en la línea exterior los dos elementos calculados, dividiendo entre el incremento de x y aplicando el límite cuando el incremento de x tiende a cero, tenemos que su valor es 2, esta es la pendiente de la recta tangente de la que podemos calcular su ecuación al sustituir las coordenadas del punto (1,4) en la expresión y=mx+b, de esta manera obtenemos la constante b o punto de intersección con el eje y.
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Cuando graficamos una función lo que hacemos es obtener todos sus puntos mientras que cuando calculamos su derivada, lo que estamos obteniendo son las distintas tangentes de cada uno de sus puntos.
Por ejemplo, en la función dada, cuando x vale uno, y vale cuatro. Si sustituimos en la derivada el valor de x del que acabamos de calcular su coordenada sobre el eje y, observamos que el uno sustituido en la derivada, genera como resultado 12 unidades, este valor corresponde a la pendiente de la recta tangente en ese punto de coordenadas (1,4). Esto quiere decir que en ese punto la pendiente de la recta sube 12 unidades sobre el eje y avanza una unidad sobre el eje x, es lo que se llama la pendiente de la recta tangente, el cociente entre el diferencial en y sobre el diferencial en x.
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En la figura tenemos una curva parabólica de la que se pide calcular la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa ocho. Sustituimos en la ecuación de la parábola: ocho al cuadrado partido -32 es igual a y, por tanto y es igual a -2. Las coordenadas del punto B son (8, -2).
Hacemos la derivada de la curva (multiplicamos el exponente por la variable restándole una unidad al exponente) y obtenemos su valor: y=-x/16.
Sustituyendo en x el ocho obtenemos el valor de y: -1/2.
Esta es la pendiente de la recta tangente en ese punto.
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En el dibujo tenemos una función en el rectángulo amarillo, calculamos su primera derivada tomando el exponente y multiplicándolo por la variable restándole a ésta una unidad al exponente.
x al cubo se transforma en tres x al cuadrado, -6 x al cuadrado se transforma en -6 que multiplica a 2x, -15x se transforma en -15 y de esta forma tenemos la primera derivada que simplificamos e igualamos a cero.
Calculando el valor de la variable x al igualar la función a cero , tenemos el -1 y el 5 que son los puntos coordenadas en x por donde pasan el máximo y el mínimo de la función. Sustituyendo ambos puntos en la ecuación original obtenemos las coordenadas del máximo y mínimo en y sobre la función.
Tomando la primera derivada y volviéndola a derivar obtenemos la segunda derivada, la derivada de x al cuadrado es 2x y la derivada de -4 x es cuatro. Si igualamos esta segunda derivada a cero tenemos el punto de corte con el eje x, esta coordenada en x corresponde al punto de inflexión de la función, que es el punto donde cambia de cóncavo a convexo o viceversa. Como ya sabemos cuál es el máximo y el mínimo ya que lo calculamos anteriormente, podemos decir que la función pasa de convexa a cóncava. Si no supiéramos dónde está el máximo y el mínimo, tendríamos que coger un punto de la función y observar el comportamiento de la pendiente en ese punto, si la pendiente es positiva quiere decir que la función es creciente y que se acerca hacia un máximo, si posteriormente encontramos un punto que tiene pendiente negativa, la función es decreciente y por tanto se acerca hacia un mínimo.
Para asegurarnos de que realmente tiene un punto de inflexión conviene hacer la derivada a la izquierda y a la derecha de ese número obtenido por donde puede pasar el punto de inflexión, para ver si pasa de cóncava convexa o recíprocamente, de esta manera podemos asegurar de que hay punto de inflexión.
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En la imagen tenemos una función cúbica, estas funciones tienen forma de s girada 90°, por lo que tienen un punto de inflexión y generalmente un máximo y un mínimo. Si derivamos la función, tenemos que el exponente del primer término -1 unidad pasa a multiplicar a la constante y variable 3x. A la variable le restamos una unidad al exponente. Hacemos lo mismo con el segundo término, x al cuadrado se transforma en 2x. Por último, al derivar la constante tenemos que el resultado es siempre cero.
Como la derivada determina la pendiente de la recta tangente en un punto, tenemos que si esta tangente es horizontal, la pendiente de ésta es cero, por tanto igualamos la primera derivada a cero y obtenemos las dos coordenadas en x del máximo y del mínimo. si tomamos uno de estos dos puntos, por ejemplo el cero, podemos calcular en un punto de la curva hacia la derecha la pendiente que tiene, si la pendiente es positiva, quiere decir que este punto de coordenada en equis igual a cero, es un mínimo, ya que tenemos que después de éste punto la curva empieza a crecer, lo que quiere decir que estamos saliendo de un hueco para empezar a subir.
Si calculamos la segunda derivada según el mismo procedimiento, pasar el exponente -1 unidad a multiplicar al primer termino y a la variable le quitamos también una unidad al exponente. De esta manera tenemos que 3x al cuadrado se transforma en 6x.
Al igualar la segunda derivada a cero, obtenemos las coordenadas en x del punto de inflexión, este es el punto en el que la curva cambia de ser convexa a cóncava.
Para asegurarnos de que realmente tiene un punto de inflexión conviene hacer la derivada a la izquierda y a la derecha de ese número obtenido por donde puede pasar el punto de inflexión, para ver si pasa de cóncava convexa o recíprocamente, de esta manera podemos asegurar de que hay punto de inflexión.
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Respecto al ejercicio anterior, tenemos otro procedimiento para determinar cuál de los dos resultados de la ecuación cuadrática son el máximo y el mínimo. Sustituimos en la segunda derivada ambos puntos en la variable y si al operar obtenemos un número positivo, tenemos que ese punto corresponde al mínimo de la curva. Por contra, si al sustituir el número en la segunda derivada y'' toma como valor un número negativo, tenemos que el punto sustituido corresponde a un máximo de la curva. Obviamente basta con calcular uno de los dos en una curva cúbica de este tipo, ya que sólo tiene un máximo y un mínimo.
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Para hacernos una idea de la relación que existe entre las derivadas y la función original, podemos observar en la gráfica lo siguiente: si representamos la curva correspondiente a la primera derivada (curva de color azul), podemos observar que ésta corta en los ejes en dos puntos A (-1.73, 0) y B (1.73, 0). Si hacemos rectas verticales por estos dos puntos, tenemos que cortan a la curva original en los puntos E F, máximos y/o mínimos- en este caso- de la función. por tanto al proyectar dos máximos y mínimos de una función sobre el eje x, tenemos que lo corta en puntos de intersección con la primera derivada. Tenemos también que cuando la derivada es positiva en un punto en un intervalo la función es creciente, mientras que si el valor de la derivada es negativo, la función es decreciente.
Al construir la segunda derivada (curva de color verde) y hacer su gráfica, observamos que también corta al eje x en las proyecciones de los puntos de inflexión. Cuando el valor que toma la derivada es positivo tenemos que la curva es cóncava, en caso contrario es convexa.
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En la figura podemos observar una función representada en color azul con su primera derivada de color violeta que corta al eje x en puntos que proyectados ortogonalmente interceptan en la curva original el punto máximo y mínimo de la función.
Observamos también la derivada 2ª en verde que es una recta que corta al eje x en un punto cuya proyección ortogonal de su punto en x (0.33) corresponde al punto de inflexión B de la curva azul.
En la figura podemos observar una función representada en color rosa con su primera derivada de color verde que corta al eje x en puntos que proyectados ortogonalmente interceptan el punto máximo C y mínimo D de la función. Observamos también la derivada 2ª que es una recta que corta al eje x en un punto G cuya proyección ortogonal corresponde al punto de inflexión H de la curva. Observamos por último la representación gráfica de la curva que corresponde a su integral indefinida (falta adjuntar la suma de la constante).
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En la figura podemos observar una curva y su ecuación. Al igualar su derivada (en color verde) a cero, obtenemos los dos puntos del eje x que son proyecciones del máximo y mínimo de la función. Cuando igualamos la segunda derivada a cero obtenemos ecuación de la recta que corta al eje x en el punto o proyección del punto de inflexión de la curva.
Para asegurarnos de que realmente tiene un punto de inflexión conviene hacer la derivada a la izquierda y a la derecha de ese número obtenido por donde puede pasar el punto de inflexión, para ver si pasa de cóncava convexa o recíprocamente, de esta manera podemos asegurar de que hay punto de inflexión.
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En la figura podemos observar una función representada en color azul con su primera derivada de color violeta que corta al eje x en puntos que proyectados ortogonalmente interceptan en la curva original el punto máximo y mínimo de la función.
Observamos también la derivada 2ª en verde que es una recta que corta al eje x en un punto cuya proyección ortogonal de su punto en x (0.33) corresponde al punto de inflexión B de la curva azul.
Para asegurarnos de que realmente tiene un punto de inflexión conviene hacer la derivada a la izquierda y a la derecha de ese número obtenido por donde puede pasar el punto de inflexión, para ver si pasa de cóncava convexa o recíprocamente, de esta manera podemos asegurar de que hay punto de inflexión.
En la gráfica observamos la expresión de una función dentro de una elipse cuya derivada aparece en el rectángulo inferior. Para calcular la se ha tomado el exponente y se le ha restado una unidad, pasando el valor de este nuevo número a multiplicar a todo el binomio y restando a éste también una unidad, a continuación se multiplica por la derivada de lo que aparece dentro del paréntesis, que es dos.
Se pide calcular la pendiente en x igual a cero. Por tanto sustituimos el cero en la función derivada obtenida y tenemos como resultado el valor de la pendiente que es 1/1, esto es, una línea a 45° con pendiente positiva.
a continuación sustituimos también el cero pero esta vez en la función original obteniendo que cuando x vale cero, y vale uno. Por tanto la ecuación de la tangente buscada tiene como pendiente la unidad y corta al eje y en el punto uno. Tenemos así que la ecuación es y=mx+b, donde m es igual a uno y b es igual a uno.
La ecuación queda: y=x+1
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Se pide calcular la pendiente de la recta tangente a la curva -dada en el rectángulo verde- en el punto de abscisa uno. Tenemos que la ecuación de la curva es una fracción, por tanto se llamamos al numerador "y" y el denominador "m", tenemos que la derivada de la función viene dada por la fórmula encuadrada en el rectángulo ocre: la derivada de toda la función es el cociente como resultado de dividir el producto de la derivada del numerador por el denominador menos el numerador por la derivada del denominador entre el denominador al cuadrado. Sustituyendo todos los datos (expresión en color verde) tenemos como resultado la constante dos, Esta es la pendiente de la recta en el punto de coordenada en x igual a uno. Sustituimos la coordenada en x de este mismo punto en la variable de la función y tenemos que la coordenada en y vale también uno. Por tanto el punto de coordenadas (1,1) es el punto por donde pasa la tangente cuya pendiente son dos unidades. Si dibujamos está recta podemos observar que corta al eje y en el punto -1, de esta manera podemos obtener rápidamente la ecuación de la recta tangente: y=2x-1.
Si queremos resolverlo de una forma analítica, debemos sustituir en la fórmula:
y- y1=m (x-x1)
x1,y1 es el punto de coordenadas (1,1)
m es la pendiente de la recta cuyo valor es dos.
Para calcular las asíntotas tomamos el denominador y lo igualamos a cero, de esta manera obtenemos que el valor de la variable x es igual a raíz de dos (1,41 y -1,41). Por tanto por estas dos coordenadas pasan las rectas tangentes a la curva en el infinito (asíntotas).
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En la figura tenemos una función cuya ecuación viene dada por la expresión que aparece en la elipse verde. En su parte inferior aplicamos la derivada: la derivada de una fracción es igual a el cociente entre la derivada del numerador por el denominador menos en la derivada del denominador por el numerador, todo ello dividido entre el denominador al cuadrado. Al igualar esta nueva expresión a cero, tenemos que el valor de x son las tres constantes que aparecen en color azul en el borde inferior derecho: cero, raíz de tres, y menos raíz de tres. Sabemos que por estos 3 puntos críticos tenemos el máximo, mínimo y punto de inflexión de la curva.
Al igualar el denominador de la función a cero, tenemos que el valor de x es +1 y -1, por tanto las asíntota las verticales son las rectas que pasan por los puntos de abscisas 1 y -1.
Para obtener la asíntota oblicua de la curva, tenemos que tiene por ecuación y= mx + n.
Para calcular m tenemos que calcular el límite de toda la función cuando x tiende a infinito, de esta manera tenemos que m vale uno, tal y como aparece en el rectángulo superior izquierdo.
Para calcular n tenemos que aplicar el límite de toda función cuando x tiende a más y menos infinito, asimismo tenemos que restarle el producto mx. al aplicar el límite tenemos que n=0, por tanto la ecuación de la recta asíntota de la curva es y= x+0, esto es y=x la bisectriz del primer cuadrante.
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Para obtener la asíntota oblicua de la curva, tenemos que tiene por ecuación y= mx + n.
Para calcular m tenemos que calcular el límite de toda la función cuando x tiende a infinito, de esta manera tenemos que m vale uno, tal y como aparece en el rectángulo superior izquierdo.
Para calcular n tenemos que aplicar el límite de toda función cuando x tiende a más y menos infinito, asimismo tenemos que restarle el producto mx. al aplicar el límite tenemos que n=0, por tanto la ecuación de la recta asíntota de la curva es y= x+0, esto es y=x la bisectriz del primer cuadrante.
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En la figura observamos la representación gráfica de la función seno f(x)= sin(x). Hemos representado una recta con un ángulo de inclinación de 35,26° respecto a la horizontal. El radio de la circunferencia con ese ángulo corta a la misma en el punto F, punto de coordenadas polares de este punto vienen dadas por la expresión (F, 35,26°).
Si proyectamos mediante una línea horizontal este punto sobre la representación gráfica de la curva, tenemos que cortar la misma en el punto I (en realidad está cortando a la función coseno, pero el resultado es el mismo por tener en ese punto igual pendiente). Como sabemos que la derivada del seno es el coseno del mismo ángulo por la derivada de x y conocemos además que la derivada es la pendiente de la recta tangente en un punto, construyendo la tangente en el punto I observamos que tiene de pendiente 0,82, que, multiplicado por la derivada de la variable x, que es uno, tenemos que efectivamente la derivada del seno de 35,26° (pendiente de la recta tangente en I) es igual al coseno DG de ese mismo ángulo.
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En la imagen anterior tenemos una función exponencial dentro de la elipse de color rojo de la que vamos a determinar la tangente en un punto -el uno- y el mínimo de la curva. Para calcular la derivada tomamos el exponente y le restamos una unidad, este nuevo número multiplica a la misma expresión pero restándole una unidad al exponente de la variable x. De esta forma tenemos que la derivada de la función es la que aparece en el rectángulo azul. Sustituyendo el uno en la variable independiente tenemos que la pendiente es igual a 2.
Sustituyendo también el uno en la función, tenemos que el valor de y es 0,5, por tanto el punto de coordenadas (uno, 0,5) es el punto donde la tangente tiene de pendiente dos unidades. al igualar la primera derivada a cero, obtenemos como punto crítico el valor 0 que es el que corresponde al mínimo de la curva.
Podemos hacer la segunda derivada que es la derivada de la primera, y obtenemos la expresión que aparece en el rectángulo de color verde. cuando da positivo el valor de y, tenemos que es un mínimo, cuando da negativo tenemos que es un máximo de la curva, como la expresión da cero unidades, tenemos que es cóncava.
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En la imagen podemos ver una nueva función en el rectángulo verde, al aplicar su derivada primera (rectángulo en color rojo), observamos en la representación de la curva que corta al eje de las abscisas en los puntos 1, -1. Por tanto tenemos que sobre las rectas verticales que pasan por estos dos puntos AC, pasan los puntos críticos de la función, el máximo y un mínimo.
Al construir la segunda derivada (rectángulo en color azul) podemos observar que corta al eje de las abscisas en 0, por tanto el punto de inflexión de la curva está sobre la línea vertical que pasa por 0 en x, en este caso coincide con el punto de coordenadas (0,0).
En la figura podemos observar una función cúbica representada en color rojo, al aplicar la derivada obtenemos una parábola que corta al eje x en dos puntos AB por cuyas rectas verticales pasan el máximo y mínimo CD, respectivamente,de la función. Si aplicamos nuevamente otra derivada, la segunda, tenemos la ecuación de la recta que corta al eje x en un punto E, por cuya vertical pasa el punto de inflexión de la curva cúbica dada.
En este ejercicio tenemos un caso análogo al anterior, pero en él se muestran los distintos cálculos para llegar a los puntos máximo, mínimo y de inflexión. Observamos en el rectángulo superior derecho de color negro, la ecuación de la curva cúbica, en el renglón inferior en color verde aparece su derivada primera, inmediatamente debajo en color azul aparece la segunda derivada.
En el rectángulo amarillo tenemos la primera derivada igualada a cero, de esta manera obtenemos dos puntos, 0 y 4/3. Éstas son las coordenadas en x del máximo y el mínimo de la función dada. Para saber a que punto corresponde el máximo, sustituimos uno de los dos en la segunda derivada, que es lo que aparece en el rectángulo azul, al sustituir el cero en la segunda derivada, tenemos que y da un valor negativo, por tanto es un máximo. Lógicamente el otro punto x=4/3 es un mínimo, podemos comprobar que a sustituirlo en la segunda derivada obtenemos un valor positivo, por lo que es un mínimo.
Para obtener el punto de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero, es el cálculo que aparece en el rectángulo verde inferior, tenemos que x es igual a 0,67, por tanto esta es la coordenada en x del punto de inflexión. Si quisiéramos calcular la coordenada en y, bastaría con sustituir estos tres puntos (máximo, mínimo y punto de inflexión) calculados en x en la función original, obteniendo el valor o coordenada correspondiente a la variable y.
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Ejemplo de aplicación de las derivadas en física:
podemos calcular la velocidad y la aceleración en un momento dado gracias a el estudio de las derivadas.
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En el dibujo podemos observar una función cuya expresión matemática aparece en el rectángulo rojo, como podemos observar en el segundo miembro, tenemos un binomio que multiplica a un trinomio.
Para calcular la derivada de un producto, multiplicamos la derivada del primer término por el segundo término y le sumamos la derivada del segundo término por el primer término, tal y como aparece en el rectángulo azul. Aplicando la fórmula obtenemos la expresión que aparece en el rectángulo violeta.
Por último, simplificando, obtenemos el valor de la derivada en color verde en el rectángulo inferior, su gráfica corresponde a la curva que aparece representada también del mismo color.
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En la figura podemos observar una función cúbica representada en color rojo, al aplicar la derivada obtenemos una parábola que corta al eje x en dos puntos AB por cuyas rectas verticales pasan el máximo y mínimo CD, respectivamente,de la función. Si aplicamos nuevamente otra derivada, la segunda, tenemos la ecuación de la recta que corta al eje x en un punto E, por cuya vertical pasa el punto de inflexión de la curva cúbica dada.
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En este ejercicio tenemos un caso análogo al anterior, pero en él se muestran los distintos cálculos para llegar a los puntos máximo, mínimo y de inflexión. Observamos en el rectángulo superior derecho de color negro, la ecuación de la curva cúbica, en el renglón inferior en color verde aparece su derivada primera, inmediatamente debajo en color azul aparece la segunda derivada.
En el rectángulo amarillo tenemos la primera derivada igualada a cero, de esta manera obtenemos dos puntos, 0 y 4/3. Éstas son las coordenadas en x del máximo y el mínimo de la función dada. Para saber a que punto corresponde el máximo, sustituimos uno de los dos en la segunda derivada, que es lo que aparece en el rectángulo azul, al sustituir el cero en la segunda derivada, tenemos que y da un valor negativo, por tanto es un máximo. Lógicamente el otro punto x=4/3 es un mínimo, podemos comprobar que a sustituirlo en la segunda derivada obtenemos un valor positivo, por lo que es un mínimo.
Para obtener el punto de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero, es el cálculo que aparece en el rectángulo verde inferior, tenemos que x es igual a 0,67, por tanto esta es la coordenada en x del punto de inflexión. Si quisiéramos calcular la coordenada en y, bastaría con sustituir estos tres puntos (máximo, mínimo y punto de inflexión) calculados en x en la función original, obteniendo el valor o coordenada correspondiente a la variable y.
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En la figura podemos observar la representación gráfica de lo estudiado hasta ahora y concretado en una curva y sus derivadas. La curva en cuestión es de color azul y viene representada por la función que aparece dentro del rectángulo azul en el borde inferior izquierdo. Su primera derivada aparece en color verde y la segunda derivada en color marrón.
Como podemos observar, la primera derivada corta al eje x en puntos por cuyas verticales pasan el mínimo y máximo de la función, mientras que la segunda derivada corta en el mismo eje en un punto por donde pasa una línea vertical que incide en el punto de inflexión de la curva original dada.
Para calcular las asíntotas verticales igualamos el denominador a cero y obtenemos los dos valores de x, que son -2 y +2.
Para calcular la asíntota oblicua calculábamos los valores de la pendiente m y de la constante n (intersección de la recta con el eje y), obtenidos éstos teníamos ya la ecuación de la recta: y=mx+n.
Para obtener m calculábamos el límite de la función dividida entre x cuando x tiende a infinito. Mientras que para calcular n aplicábamos el límite a toda la función cuando x tiende a infinito restándole el producto de la pendiente m calculada en el apartado anterior por la variable x.
En este dibujo podemos ver la curva anterior, en él se muestra por donde pasan los tramos de la curva una vez que tenemos las asíntotas.
Una vez que sabemos por qué puntos pasan las asíntotas verticales, aplicamos el límite a la función cuando x tiende a cada uno de los puntos por donde pasan las asíntota las verticales pero restándole o sumandole una pequeña dimensión, se dice por ejemplo en el punto dos por la izquierda y por la derecha, o bien en el punto -2 por la izquierda y por la derecha.
Por ejemplo, tomando el punto dos por la derecha, tomamos un valor un poco mayor que el dos, por ejemplo el 2,01. Sustituyendo en la variable independiente x de la ecuación este valor (aplicando el límite cuando la función tiende a 2,01), tenemos que el resultado nos da infinito positivo, por tanto el tramo de la curva existe a la derecha de la asíntota que pasa por este punto aproximándose al infinito positivo, con lo que el tramo de la curva queda por el borde superior derecho y se dirige hacia arriba a partir de esta asíntota.
Si tomamos el número dos positivo por la izquierda podemos tomar el punto 1,99, aplicando el límite por la izquierda obtenemos un valor negativo, eso quiere decir que a la izquierda de esta asíntota la función decrece hacia el infinito. La misma operación haremos con el punto -2 a la izquierda y a la derecha, por ejemplo considerando a la izquierda el punto -2,1 y a la derecha el punto -1,9. A la derecha sale infinito positivo mientras que la izquierda infinito negativo. De esta manera podemos dibujar ya la dirección de la curva al lado de las asíntotas.
En el dibujo se muestra también otra forma de calcular la asíntota oblicua: se divide el numerador entre el denominador de la función y el cociente determina la ecuación de la recta y=x/2
En color verde tenemos una función x menos 7 elevado a x y esta variable elevada al mismo tiempo al cuadrado.
La derivada aparece en color violeta, hacemos primero la derivada del primer término por la variable independiente x y tenemos que vale uno. Hacemos a continuación la derivada del segundo término, pasamos la derivada de x al cuadrado (que es 2x) a multiplicar a 7 elevado a x y esta variable elevada al mismo tiempo al cuadrado a continuación multiplicamos este segundo término por el logaritmo neperiano (logaritmo en base e) de la base 7.
si representamos la función derivada tenemos la curva de color violeta que corta al eje de las abscisas en el punto por donde pasa una vertical que corta a la función original en el punto crítico máximo.
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Ejemplo de aplicación de las derivadas en física:
podemos calcular la velocidad y la aceleración en un momento dado gracias a el estudio de las derivadas.
En el dibujo observamos en el rectángulo verde la expresión que define el espacio recorrido por un móvil, es una expresión con una ecuación cuadrática en la que sobre el eje x hemos marcado los tiempos del objeto que se desplaza, mientras que en el eje vertical y hemos marcado el espacio que recorre. Calculando la primera y segunda derivada tenemos las expresiones en color verde y azul respectivamente. Vamos a calcular el espacio, la velocidad y la aceleración del móvil en dos y en tres segundos.
Sustituyendo en la fórmula original los dos segundos en la variable independiente t, obtenemos al calcular la ecuación cuadrática que el objeto recorre 3 m. Sustituyendo en la derivada primera el valor de dos segundos, tenemos que la velocidad en ese tiempo es de 4 m/s, mientras que la aceleración es una constante y por tanto no hay nada que sustituir, simplemente tenemos que su valor es 1 metro por segundo al cuadrado.
Sustituyendo los tres segundos en la fórmula original tenemos que el espacio que recorre es 7,5 m. Sustituyendo en la primera derivada los tres segundos en el tiempo tenemos que su velocidad es de 5 m/s, mientras que la aceleración sigue siendo constante, de 1 metro por segundo al cuadrado.
En este dibujo podemos observar la representación gráfica de los elementos calculados anteriormente, la derivada, que es la pendiente de la recta tangente en cada punto, coincide con el valor de la velocidad en cada uno de los puntos, de esta manera tenemos que a los dos segundos - definido sobre el eje x-, tenemos que la pendiente en ese punto vale cuatro y éste es el valor de la velocidad en metros por segundo a los dos segundos.
Tenemos que a los tres segundos la pendiente de la recta tangente en la curva vale cinco, ésta es la velocidad en metros por segundo a los tres segundos. Como podemos ver la velocidad coincide con la pendiente de la recta tangente, por tanto la derivada sirve para calcular la velocidad en un instante.
La segunda derivada sirve para calcular la aceleración, que es la velocidad por unidad de tiempo, por tanto la derivada segunda cuyo valor es uno, nos define exactamente la aceleración constante del móvil, tal y como corresponde a un movimiento uniformemente acelerado.
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Otro ejemplo análogo:
La velocidad es la pendiente de la recta tangente y sirve para calcular la velocidad del móvil en un instante, mientras que la segunda derivada nos vale para calcular la aceleración o velocidad por unidad de tiempo.
Vídeos de áreas y volúmenes por cálculo integral:
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