La fotografía o perspectiva de una escena representa todos los elementos bajo principios de proyección o sección, los elementos que resultan inalterados son la incidencia, la intersección, las tangencias, la polaridad, la razón doble, etc., a todos estos elementos se les llama invariantes proyectivos.
Si partimos de la geometría de Euclides, podemos escoger estos principios o postulados que sirven para esta geometría:
- 2 puntos distintos determinan una única línea
- 3 puntos distintos determinan un único plano
- 2 líneas en un mismo plano se cortan siempre
- 1 línea que no está en un plano lo cortan en un punto
- 2 planos no coincidentes se cortan siempre.
Todas estas proposiciones no dependen de cuestiones de medidas (métricas) y sólo se refieren a incidencia o intersección. Se ha integrado en estos postulados los elementos en el infinito, de esta manera eliminamos las excepciones, por ejemplo dos líneas en un plano o son paralelas o se cortan, para eliminar la primera excepción, podemos decir que dos líneas en un plano se cortan siempre, para ello mantendremos que las paralelas tienen un punto común en el infinito, llamado también punto ideal o de desvanecimiento.
Los planos en el espacio se cortan siempre si no son coincidentes, por tanto dos planos paralelos tienen a la recta del infinito común, de esta manera eliminamos nuevamente la excepción: dos planos en el espacio se cortan salvo si son paralelos.
Una recta y un plano paralelos tienen también un punto común en el infinito, éste punto pertenece a la recta del infinito del plano, igualmente eliminamos la excepción: una recta y un plano no coincidentes en el espacio se cortan siempre salvo si son paralelos.
En síntesis, todos los elementos que son paralelos entre sí, sean rectas, planos, rectas y planos, tienen siempre elementos incidentes en la recta del infinito.
Un elemento, sea recta o plano, al que se le anexa su elemento ideal, se llama extendido. Por ejemplo, un plano extendido es aquel que nos referimos como plano ordinario al que se le suman los puntos ideales de todas las líneas que contiene.
Las líneas de la geometría proyectiva
dadas dos líneas que se cortan - una de ellas la vamos a considerar el eje de las Abscisas, haciendo divisiones equitativas en la primera y transformando las divisiones sobre la segunda desde un punto exterior A tenemos que el seis se transforma en M, el cinco se transforma en N, el cuatro se transforma en O, el tres se transforma en P, el dos se transforma en Q, el uno se transforma en R, el cero se transforma en S, el -1 se transforma en un punto del infinito - podemos decir que este punto no tiene imagen sobre la nueva recta, pero sería como decir que una recta se transforma en otras -1 punto lo cual es contradictorio ya que esta nueva recta se transformaría en otra menos otro punto, y así hasta el infinito. por tanto admitimos que es -1 se transforma en un punto en el infinito, por tanto la recta proyectiva contiene este punto ideal, que en la perspectiva se denomina punto del infinito y su correspondiente sobre la recta roja es el punto de fuga o de desvanecimiento, o punto límite en homología.
Si seguimos acercándonos hacia el menos infinito (por la izquierda), tenemos que el punto -2 se transforma en T, de esta manera nos vamos acercando a logos puntos que calculamos al principio M, N, P, etc., por tanto la recta se comporta como si fuera cerrada, es una línea que se curva va al infinito y vuelve por el otro lado.
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Teorema de Pappus |
Teorema dual de Pappus |
Teorema de Pappus. Caso afín |
Un invariante proyectivo
es una propiedad que es compartida por una figura y su proyección.
Dos rectas paralelas se transforman por regla general en dos
rectas que se cortan, como todos los puntos de la representación tienen su
imagen, si las rectas proyectadas sobre un plano se cortan en un punto sus
transformadas correspondientes también se cortarán, pues si no lo hicieran, un
punto se transformaría en nada.
Invariantes proyectivos
y acotación: decimos que una figura está acotada cuando se puede incluir dentro
de una circunferencia, la acotación no es un invariante proyectivo ya que por
proyección se puede transformar en una figura con elementos en el infinito.
La interpolaridad
no es un invariante proyectivo, la propiedad de un punto de estar entre otros dos
puntos no es un invariante proyectivo, aunque el orden de los puntos no se
pierde cuando se transforman los puntos de una recta en puntos de la otra.
Si dos triángulos son perspectivos desde un centro, también
lo son respecto a un eje, recíprocamente si lo son respecto al eje también lo
son respecto al centro.
Perspectividad:
Si tenemos dos rectas que son cortadas por una radiación o
conjunto de rectas que pasan por un punto, esta radiación corta a las dos
rectas en un conjunto de puntos que podemos asociar punto por punto en una perspectividad.
Una perspectividad es un método que transforma unos puntos
de una recta en puntos de otra recta, de manera que cada par de puntos
transformados están alineados con un centro de proyección.
Proyectividad es
un producto o un conjunto de perspectividades.
Teorema fundamental:
dados tres puntos sobre una recta y otros tres sobre otra recta, existe una proyectividad
que transforma a los primeros en los segundos, respectivamente. Esta relación
se cumple siempre en el plano y excepcionalmente en el espacio, ya que por
regla general dos rectas en el espacio se cruzan y por tanto no determinan un
plano, el que contendría a la radiación y vértice centro de la trasformación
proyectiva.
Fundamentación axiomática
Para demostrar un teorema tenemos que partir de otros
anteriores ya establecidos, y así sucesivamente, las primeras proposiciones
deben ser consideradas verdaderas y al ser básicas son evidentes y por tanto
indemostrables, a estas proposiciones primarias que fundamentan el sistema
hipotético deductivo y que no se pueden demostrar se llaman axiomas. No nos plantearemos si son
verdaderos los axiomas, simplemente consideraremos que son válidos dentro del
sistema, para construir un modelo axiomático habría que definir también los
objetos, definir los términos que los definen y así sucesivamente y todo ello
de una forma rigurosa aunque no exista una definición rigurosa del rigor, para
definir algo debemos utilizar términos no definidos igual que para la
construcción por demostración de teoremas necesitamos principios básicos no
demostrados.
Si tomamos los elementos primarios de la geometría, punto,
recta y relación sobre como términos definidos, no nos preguntamos el
significado de ellos, simplemente en la relación, podemos decir que dos puntos determinan una recta, sin tener en cuenta lo
que es un punto y una recta.
Consideremos los
siguientes axiomas:
Uno- existe al menos un punto y al menos una rectaDos-si tenemos dos puntos distintos, existe al menos 1 recta que pasa por ambos.
Tres-si tenemos dos puntos distintos, existe como máximo una recta que pasa por ambos.
Cuatro- si tenemos dos rectas distintas, existe al menos 1 punto que está sobre ellas.
Cinco-existen por lo menos tres puntos sobre cualquier recta.
Seis-no todos los puntos están sobre la misma línea.
Teorema 1: si tenemos dos rectas distintas, existe
como máximo un punto que está sobre ambas.
Demostración por reducción al absurdo: imaginemos que hay 2
puntos que estén tanto en una recta como en la otra, ello conllevaría que sobre
esos 2 puntos habría más de una recta, lo cual contradice al axioma tres. Como
podemos observar el teorema uno y el axioma tres se pueden transformar uno en
el otro intercambiando las palabras punto y recta, esto quiere decir que son duales. Principio de dualidad
Es aquel que mediante el intercambio de ciertas palabras en una proposición, genera otro teorema o proposición. Por ejemplo: dos puntos determinan una línea, si intercambiamos los elementos punto y línea tenemos la siguiente proposición: dos líneas determinan un punto.
Otro ejemplo: tres puntos no coincidentes y no alineados determinan un plano, intercambiando los elementos tenemos: tres planos no coincidentes y que no pasen por una misma línea determinan un punto.
En geometría proyectiva, de cada teorema podemos obtener su dual, de esto se desprende que podemos duplicar todo el conocimiento que tenemos de todos los teoremas que vamos construyendo.
A continuación observamos el teorema de Pappus, su teorema dual, y a continuación tomamos los haces de rectas y los mantenemos paralelos de manera que obtenemos un caso particular afín. De este teorema afín hacemos también su dual.
En un plano proyectivo, tenemos dos líneas no coincidentes y tres puntos distintos sobre cada línea, denotaremos a estos puntos con los siguientes números: 123 sobre una recta y 456 los puntos correspondientes a otra recta, puntos ordenados en frente a los anteriores, el uno frente al cuatro, el dos entre el cinco y el tres frente al seis.
Uniendo el punto uno con el cinco y con el seis, uniendo el punto dos con el punto cuatro y con el punto seis y uniendo el punto tres con en el punto cuatro y el punto cinco tenemos un conjunto de rectas que se cortan en tres puntos que siempre están alineados.
Para obtener su dual seguimos el proceso inverso: decíamos que teníamos 2 rectas y que cada una de ellas contenía a tres puntos distintos, en su lugar tenemos dos puntos por los que pasan tres rectas distintas por cada uno.
En el teorema anterior teníamos que por un punto de una recta y dos de la otra pasaban dos líneas, en su lugar tenemos que por una recta del primer punto y por otras dos rectas del segundo punto pasan dos puntos.
En el teorema teníamos que los haces de rectas determinaban tres puntos alineados, en el teorema dual tenemos que los conjuntos de puntos definen tres rectas que pasan por un punto.
Para obtener los teoremas duales simplemente consideramos los tres puntos de la primera línea en el infinito, de esta manera cada par de rectas que pasa por cada punto son paralelas, como es un caso particular del anterior tenemos que el teorema se cumple y la intersección de los haces de rectas son también tres puntos alineados, de la misma forma su dual también es cierto.
Principio de
dualidad: si se puede deducir un teorema a partir de unos axiomas, su dual
también se puede deducir a partir de los mismos axiomas.
Si tomamos el axioma uno, su dual es el mismo axioma, el
dual del axioma dos es del axioma cuatro, el dual del axioma tres es el teorema
uno, el dual del axioma cuatro es el axioma dos, el dual del axioma cinco es el
siguiente teorema 2: por cualquier
punto pasan por lo menos 3 rectas.
Teorema 3 no
todas las rectas pasan por el mismo punto.
Tenemos hasta ahora la siguiente relación dual entre axiomas
y teoremas: el axioma uno es dual del axioma uno, el dos lo es del axioma
cuatro, el axioma tres lo es del teorema uno, el axioma cuatro lo es del axioma
dos, el axioma cinco lo es del teorema dos, y el axioma seis, lo es del teorema
tres.
Consistencia de los
axiomas, para construir un modelo consistente de axiomas, necesitamos
convertir los axiomas en teoremas para poder comprender su validez
Independencia de los
axiomas: la independencia de un axioma implica que no se puede deducir de otro, para
comprobar que esto es cierto se puede proceder de la siguiente manera: por
ejemplo para que el axioma uno no se pueda deducir de los demás, tenemos que
crear un modelo que satisfaga a los demás axiomas y que satisfaga al mismo
tiempo la negación del axioma uno, o sea, un sistema en el que sean válidos
todos los axiomas menos el que queremos que sea independiente.
Teorema de Desargues
Teorema de Desargues: “Si 2 triángulos son perspectivos axialmente (desde el eje MNP)
también lo son centralmente (desde el centro O), la recíproca es cierta, si lo son desde el centro
también desde el eje”.
http://homologias.blogspot.com/
DESARGUES- TRIÁNGULOS PERSPECTIVOS 2.. |
Teorema fundamental de la geometría proyectiva
Existe una proyectividad que transforma tres puntos alineados en otros tres.
| Teorema fundamental de la g. proyectiva |
TEOREMA DE BRIANCHÓN
Si unimos los vértices opuestos de un hexágono circunscrito a una cónica, se cortan en un punto.
TEOREMA DE BRIANCHÓN (CORRELATIVO DE PASCAL)
BRIANCHON 3 LADOS |
GE coincidentes, N es punto de tangencia de cónica.
KL y LM se transforman en una recta.
Teorema de Pascal
Al prolongar los lados opuestos de un hexágono inscrito sobre una cónica, se cortan en3 puntos alineados.
En toda elipse tenemos una circunferencia que es tangente a los vértices del eje mayor de la misma, se llama circunferencia principal -de color roja en la ilustración. Si hacemos centro en el vértice superior de un punto cualquiera del eje menor de la elipse con el radio de la circunferencia principal, obtenemos los focos F1 F2 en la intersección con el eje mayor de la elipse -a esta circunferencia la llamamos en el dibujo CP.
Circunferencia focal es aquella que tiene por centro uno de los focos de la elipse-por ejemplo el foco F2- y por radio la distancia entre los vértices del eje mayor de la elipse.
La elipse es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias -a, b, c, d - que son tangentes a la circunferencia focal CF y que al mismo tiempo pasan por uno de los focos F1. Así tenemos que las circunferencias b (amarilla) a (verde) c tienen sus centros en puntos de la elipse, son tangentes a la circunferencia focal y uno de sus puntos pasa por el foco de la elipse F1. De esto se desprende como caso particular que la circunferencia d que determina los focos de la elipse y tiene su centro en un vértice del eje menor de ella, es tangente a la circunferencia focal.
Dados dos conjuntos de puntos SAB EDC sobre una cónica, si unimos cada uno de ellos con los del otro conjunto, excepto el que tiene en frente, tenemos en la intersección de todas las líneas tres puntos M N O que están alineados.
Como ya hemos visto este procedimiento sirve para obtener nuevos puntos de la cónica, que definida por cinco puntos obtenemos el sexto, el séptimo, etcétera.
Como en geometría los puntos y las rectas son términos correlativos, se pueden intercambiar unos por otros, de esta manera una cónica definida por cinco puntos se puede transformar en otra definida por cinco rectas. Cualquiera de estos cinco elementos se puede transformar resultando que podemos construir la cónica con cinco elementos cualesquiera entre puntos y rectas.
Dadas cuatro rectas abcd y un punto M incidente en una de ellas d determinar la cónica que pasando por el punto es tangente a las rectas dadas. Hacemos una circunferencia con un diámetro cualquiera (en color amarillo) tangente al punto incidente M sobre la recta d que va a ser el eje. Tomando una de las rectas d como eje de homología, la homóloga de la primera recta c será la recta tangente a la circunferencia desde la intersección del eje d con la recta c. La intersección de cada recta c y su homóloga c’ con la otra recta b y su homóloga b’ adyacentes respectivamente, determina una nueva recta que forma parte de una radiación (rectas en color verde) en cuyo vértice O está el centro de homología.
Si queremos obtener nuevos puntos de la elipse, tomamos dos puntos homólogos cualesquiera, por ejemplo R R’. Haciendo una recta cualquiera que pase por R’ vemos que corta a la circunferencia en P’, tenemos que alineando el centro de homología con P’ hasta que corte al eje sobre el punto V, y alineando V con R tenemos en la intersección con OP’ un punto de la elipse P.
Otro ejemplo análogo al anterior pero con el eje exterior a la cónica. Tenemos varios puntos sobre la cónica ABCE y una recta tangente m sobre un punto de ella A.
Haciendo una circunferencia amarilla tangente a la recta dada m y que pasa por el punto A, y alineando el centro de la homología A con los puntos de la elipse BCE, tenemos en la intersección con la circunferencia sus homólogos B’C’E’. Haciendo una recta cualquiera que pase por 2 puntos de la circunferencia C’ D’ corta al eje en un punto L, que unido con el punto homólogo conocido de la elipse C tenemos en la intersección de esta recta CL con la recta doble AD’ un nuevo punto de la elipse D.
Correlativo del ejercicio anterior, tenemos como datos cuatro puntos y uno de ellos incidente sobre una recta tangente a la cónica. Se trata de determinar la cónica que pasa por los puntos BCDE y es tangente a la recta a en el punto B. Si tomamos el punto B como centro de homología y hacemos una circunferencia (en color amarillo) tangente a la recta a en este punto B, construimos las rectas dobles (rectas que pasan por el centro de homología B y por los puntos dados) que pasan por los puntos CDE. Éstas rectas cortan a la circunferencia en los puntos C’D’E’, respectivamente.
Las rectas homólogas CE C’E’se cortan en un punto del eje Y, otro par de rectas CD C’D’ se cortan en otro punto del eje S, dos puntos del eje YS determinan su posición.
Si queremos construir las tangentes a la cónica desde un punto cualquiera T, hacemos la tangente f desde ese punto a la circunferencia. Alineamos el punto de tangencia S’ con el centro de homología B hasta que corte al eje en un punto. Calculamos el homólogo de este punto y obtenemos el punto de tangencia S con la cónica y la tangente f u homóloga de la tangente f’ a la circunferencia.
En toda elipse tenemos una circunferencia que es tangente a los vértices del eje mayor de la misma, se llama circunferencia principal -de color roja en la ilustración. Si hacemos centro en el vértice superior de un punto cualquiera del eje menor de la elipse con el radio de la circunferencia principal, obtenemos los focos F1 F2 en la intersección con el eje mayor de la elipse -a esta circunferencia la llamamos en el dibujo CP.
Circunferencia focal es aquella que tiene por centro uno de los focos de la elipse-por ejemplo el foco F2- y por radio la distancia entre los vértices del eje mayor de la elipse.
La elipse es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias -a, b, c, d - que son tangentes a la circunferencia focal CF y que al mismo tiempo pasan por uno de los focos F1. Así tenemos que las circunferencias b (amarilla) a (verde) c tienen sus centros en puntos de la elipse, son tangentes a la circunferencia focal y uno de sus puntos pasa por el foco de la elipse F1. De esto se desprende como caso particular que la circunferencia d que determina los focos de la elipse y tiene su centro en un vértice del eje menor de ella, es tangente a la circunferencia focal.
Dados dos conjuntos de puntos SAB EDC sobre una cónica, si unimos cada uno de ellos con los del otro conjunto, excepto el que tiene en frente, tenemos en la intersección de todas las líneas tres puntos M N O que están alineados.Como ya hemos visto este procedimiento sirve para obtener nuevos puntos de la cónica, que definida por cinco puntos obtenemos el sexto, el séptimo, etcétera.
Como en geometría los puntos y las rectas son términos correlativos, se pueden intercambiar unos por otros, de esta manera una cónica definida por cinco puntos se puede transformar en otra definida por cinco rectas. Cualquiera de estos cinco elementos se puede transformar resultando que podemos construir la cónica con cinco elementos cualesquiera entre puntos y rectas.
Dadas cuatro rectas abcd y un punto M incidente en una de ellas d determinar la cónica que pasando por el punto es tangente a las rectas dadas. Hacemos una circunferencia con un diámetro cualquiera (en color amarillo) tangente al punto incidente M sobre la recta d que va a ser el eje. Tomando una de las rectas d como eje de homología, la homóloga de la primera recta c será la recta tangente a la circunferencia desde la intersección del eje d con la recta c. La intersección de cada recta c y su homóloga c’ con la otra recta b y su homóloga b’ adyacentes respectivamente, determina una nueva recta que forma parte de una radiación (rectas en color verde) en cuyo vértice O está el centro de homología.Si queremos obtener nuevos puntos de la elipse, tomamos dos puntos homólogos cualesquiera, por ejemplo R R’. Haciendo una recta cualquiera que pase por R’ vemos que corta a la circunferencia en P’, tenemos que alineando el centro de homología con P’ hasta que corte al eje sobre el punto V, y alineando V con R tenemos en la intersección con OP’ un punto de la elipse P.
Otro ejemplo análogo al anterior pero con el eje exterior a la cónica. Tenemos varios puntos sobre la cónica ABCE y una recta tangente m sobre un punto de ella A.Haciendo una circunferencia amarilla tangente a la recta dada m y que pasa por el punto A, y alineando el centro de la homología A con los puntos de la elipse BCE, tenemos en la intersección con la circunferencia sus homólogos B’C’E’. Haciendo una recta cualquiera que pase por 2 puntos de la circunferencia C’ D’ corta al eje en un punto L, que unido con el punto homólogo conocido de la elipse C tenemos en la intersección de esta recta CL con la recta doble AD’ un nuevo punto de la elipse D.
Correlativo del ejercicio anterior, tenemos como datos cuatro puntos y uno de ellos incidente sobre una recta tangente a la cónica. Se trata de determinar la cónica que pasa por los puntos BCDE y es tangente a la recta a en el punto B. Si tomamos el punto B como centro de homología y hacemos una circunferencia (en color amarillo) tangente a la recta a en este punto B, construimos las rectas dobles (rectas que pasan por el centro de homología B y por los puntos dados) que pasan por los puntos CDE. Éstas rectas cortan a la circunferencia en los puntos C’D’E’, respectivamente.
Las rectas homólogas CE C’E’se cortan en un punto del eje Y, otro par de rectas CD C’D’ se cortan en otro punto del eje S, dos puntos del eje YS determinan su posición.
Si queremos construir las tangentes a la cónica desde un punto cualquiera T, hacemos la tangente f desde ese punto a la circunferencia. Alineamos el punto de tangencia S’ con el centro de homología B hasta que corte al eje en un punto. Calculamos el homólogo de este punto y obtenemos el punto de tangencia S con la cónica y la tangente f u homóloga de la tangente f’ a la circunferencia.
Teorema de homología de 3 centros colineales
Si 3 triángulos son perspectivos (tienen sus vértices
alineados desde un centro 2 a 2) y bajo un mismo
eje (intersección de plano verde y amarillo), los
centros O1 O2 O3 de las tres perspectividades
están alineados.
De igual forma en el plano, Si 3 triángulos
(ABC, A'B'C', A''B''C''), son perspectivos
(tienen sus vértices alineados desde un centro 2 a 2)
y bajo un mismo eje MNP (intersección de
la prolongación de sus lados respectivos),
los centros O1 O2 O3 de las tres perspectividades
están alineados.
DESARGUES- 3 CENTROS COLINEALES2 |
Teorema de Steiner sobre homologías
Si 2 triángulos (verde y marrón) son perspectivos
espacialmente desde O y se abate el plano de uno
de ellos (el verde) respecto al eje e hasta hacerlo
coincidir en el mismo plano de su homólogo marrón se
tiene que estos 2 triángulos coplanares son
perspectivos desde un centro del plano (O).
Si además por el centro O hacemos una recta
Si además por el centro O hacemos una recta
paralela al plano alfa hasta que corte al plano
que contiene al triángulo marrón y hacemos un arco con centro en P y ortogonal a alfa
se tiene que corta al plano en (O), esto es, el centro abatido O es coincidente
con el centro (O) de la homología plana.
El triángulo verde y marrón están relacionados
El triángulo verde y marrón están relacionados
en una homología espacial, si abatimos el plano
alfa que contiene al triángulo verde obtendremos
una nueva homología plana en la que los
triángulos que se relacionan son el marrón
y el gris (verde abatido). Estos dos triángulos
tienen por centro de homología un punto (O)
que se puede obtener al abatir el centro de
la primera homología espacial considerando
un plano que contenga al centro de proyección
y que sea paralelo al que contiene al triángulo verde, tomando
como charnela o eje de giro una paralela a la traza de alfa por P.
En esta pág. podemos ver el T. de Steiner con geometría dinámica en un perfil:
http://homologias.blogspot.com.es/2010/10/teoremas.html
En esta pág. podemos ver el T. de Steiner con geometría dinámica en un perfil:
http://homologias.blogspot.com.es/2010/10/teoremas.html
TEOREMA DE PAPPUS |
Si sobre un par de rectas cojemos 3 puntos y unimos cada uno de ellos con los dos más alejados de la otra recta, la intersección de todos estos rayos generan 3 puntos alineados.
TEOREMA DE PAPPUS |
Teorema afín dual de Pappus |
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