Paralelismo

Dos rectas paralelas son aquellas que tienen la misma pendiente, en la figura podemos ver la recta roja y la negra, ambas tienen la misma pendiente porque el coeficiente en x vale uno en ambas ecuaciones, esto quiere decir que la pendiente es: m=1/1, o lo que es lo mismo, que cuando ambas rectas suben una unidad sobre el eje de y hacia la derecha, también crecen sobre el eje x otra unidad, por lo que forman 45° respecto al eje x.

Como podemos observar en la recta roja y verde, ambas tienen la misma pendiente pues sus pendientes son iguales: m1= m2 = y/x = 2,5 /1.

Como sabemos, en la ecuación de la recta pendiente ordenada, que es la ecuación tal y como las de las rectas aparecen en la parte izquierda del dibujo, despejando y, el coeficiente 5/2 que aparece al lado de la x es la pendiente de las mismas m=5/2=2,5/1. Esta es razón suficiente para qué en una ecuación pendiente ordenada podamos comprobar si efectivamente dos rectas son paralelas.

Cuando tenemos la ecuación general, que es toda ecuación igualada a cero, tal y como aparece en la parte derecha del dibujo, tenemos que en toda recta paralela  los coeficientes A y B son proporcionales respectivamente: 

A1x+B1y+C1=0  y la otra recta A2x+B2y+C2=0

Esto quiere decir que se cumple A1/A2=B1/B2 en ambas rectas.

las dos rectas del dibujo tienen los mismos coeficientes en x e y, no obstante si tomamos una de ellas, por ejemplo la verde, y multiplicamos todos sus términos por un número, por ejemplo por el número dos, podemos observar que la ecuación 5x-2y+8=0 se transforma en 10x-4y+16=0, es por tanto la misma recta sin simplificar sus términos. La otra recta 5x-2y-13=0 podemos observar que cumple respecto a la anterior sin simplificar la relación A1/A2=B1/B2 :

5/10=2/2, por tanto ambas rectas son paralelas.

En el caso de que A1/A2=B1/B2=C1/C2 tenemos el tipo límite del paralelismo, ambas rectas son coincidentes hasta transformarse en una única recta, estando una sobre la otra, como por ejemplo las rectas

5x-2y+8=0 y 10x-4y+16=0 son coincidentes por tener todos sus coeficientes ABC proporcionales.

Para calcular una recta paralela a otra -3x+2y=11 que pase por un punto (2,3), tomamos la ecuación y en sus variables xy sustituimos las coordenadas del punto (2,3) igualándola al nuevo coeficiente h que no tiene variable, el que era de valor 11.

-3x+2y= 11

calculamos el coeficiente sin variable, para que lo cual le damos un nombre cualquiera:

-3x+2y= h,

sustituimos en las variables las coordenadas del punto (2,3):

-3.2+2.3= h,

de esta forma tenemos que:

-6+6=h,     h=0

el coeficiente vale por tanto 0.

En consecuencia la ecuación de la recta paralela a la dada -3x+2y=11 y que pasa por el punto (2,3) es -3x+2y=0, tal y como se puede ver en el dibujo.

Cálculo mediante la ecuación punto-pendiente

Otra forma para calcular la ecuación de una recta paralela a otra dada. Es con la fórmula que relaciona la pendiente y un punto cualquiera de la recta:

(y-y1) =m (x-x1), ésta es la ecuación que sirve para determinar la recta que pasa por un punto x1 y1 conociendo su pendiente.(En este blog la podemos encontrar en el apartado sobre cálculo de una recta que pasa por 2 puntos, ya que su pendiente está determinada por el cociente entre la diferencia de coordenadas en y entre la diferencia de coordenadas en x).

Sustituyendo en la ecuación (y-y1) =m (x-x1) las coordenadas del punto y la pendiente de la recta, igual a la anterior dada por ser paralelas:

(y-3) =1,5(x-2), tenemos que  -1,5x + y =0, que es la recta -3x+2y = 0 pero simplificada.

En el dibujo podemos observar dos rectas paralelas, ambas tienen la misma pendiente y el mismo cociente entre sus coeficientes  en A y B.

Como caso límite entre rectas paralelas tenemos que son coincidentes cuando tienen sus tres coeficientes proporcionales: A1/A2=B1/B2=C1/C2.



Si dos vectores son paralelos tienen sus coeficientes proporcionales

Para calcular la ecuación vectorial de una recta paralela a otra -dada por sus ecuaciones paramétricas, en color rojo- y que al mismo tiempo pase por un punto (2, 5,4), tomamos como primer miembro las variables de la ecuación xyz,   coordenadas que igualamos a la suma del punto dado más los componentes del vector director (-2, 4, -3) multiplicados por un parámetro t. 

Esto se basa en que el vector director de la primera es paralelo al de la recta buscada ya que si ambas rectas son paralelas tienen la misma dirección y el vector director es el que tiene la dirección de la recta.