Parábola

En la figura tenemos una parábola con su ecuación. La ecuación de la parábola contiene una de las dos variables al cuadrado. como tenemos que la expresión que corresponde a la ecuación de la parábola es la que aparece en el rectángulo verde, al igualar esa expresión a la ecuación de esta cónica tenemos que 4p=8, por tanto p=2. 

p es la distancia focal o distancia entre el vértice y el foco.

Sabemos también que la expresión sencilla que corresponde a su ecuación tiene por coordenadas del vértice (0,0), tal y como se verá más adelante. En consecuencia las coordenadas del foco deben ser (2,0), ya que el vértice está sobre el origen de coordenadas y es una parábola horizontal, ya que para todo valor de x tiene dos valores en y. 

Una parábola tiene disposición horizontal cuando el exponente al cuadrado es de la variable y, mientras que la parábola es vertical cuando el exponente al cuadrado corresponde a la variable x.

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En la figura podemos ver una parábola horizontal; asimismo en la parte superior del dibujo en una elipse violeta podemos ver la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos. Según la definición de parábola tenemos que si tomamos un punto cualquiera C sobre la curva, la distancia al foco F desde este punto es igual a la distancia desde C a una recta -en el dibujo en color verde- llamada directriz: DC=CF. Tenemos además que la distancia entre el vértice de la parábola y el foco es igual a la distancia entre el vértice y la directriz, a esta distancia se le llama p. Podemos expresarlo: AV=VF

Si sustituimos en la fórmula de la distancia estos datos tenemos que DC (la distancia entre C y la directriz) es p+x. tenemos que las coordenadas de C son (x,y) y las coordenadas del foco son (p,0).

Sustituyendo en la fórmula de la distancia todos estos elementos tenemos que la ecuación de la parábola queda como parece en el rectángulo verde. En el caso particular de esta curva, 2p=8, por tanto p=4, esta es la distancia entre el vértice del foco. por tanto, es una parábola cuyo vértice está en el origen de coordenadas y el foco a su derecha a dos unidades del mismo.

Aquí podemos ver el ejercicio anterior  con colores para las distancias

 y² = 8x

Por el teorema de Pitágoras:  (p+x)² = (x-p)² + y² 

Si resolvemos la ecuación tenemos  y² = 4px

como y² = 4px  tenemos y² = 8x

4p=8

p=2,  

 p=FV

FV= 2

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En el cuadrado ocre superior podemos ver la expresión general de la ecuación de la parábola.

En el primer miembro vemos la variable y menos la coordenada en y que corresponde al valor del vértice. Toda la expresión está elevada al cuadrado, esto quiere decir que es una parábola horizontal, si la expresión elevada al cuadrado correspondiera a la variable x, querría decir que la parábola es vertical. 

En la ecuación observamos que p es igual a un cuarto, por tanto ésa va a ser la coordenada en x del foco, correspondiente a la coordenada en y tendremos cero, ya que al ser una curva horizontal que tiene el vértice sobre este eje, el foco también estará sobre el mismo eje. 

A continuación tenemos que a la variable x se le resta cuatro, esto quiere decir que el vértice de la parábola está sobre el eje x a cuatro unidades a la derecha, positivo, ya que el negativo corresponde a la fórmula.

Como está hacia la derecha tenemos que el foco  está a la derecha del vértice y sabemos que es un cuarto ya que al multiplicarlo por el cuatro de la fórmula obtendremos la unidad, que es lo que aparece en la fórmula azul, la ecuación de la parábola.

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En la figura observamos en color azul claro a la izquierda en el borde inferior la expresión correspondiente a la ecuación de la parábola. Las coordenadas del vértice son (h,k).

Por tanto si ponemos en h el valor cero, sabemos que esa va a ser la coordenada del vértice sobre el eje x. Si sustituimos en k el valor -4, sabemos que es sobre el eje y, el vértice va a estar cuatro unidades por debajo del cero.

Si le damos a 4p el valor uno, tenemos que el valor de p es 0,25, al despejar en la igualdad, por tanto la distancia entre el vértice y el foco, lo que se llama distancia focal es 0,25 unidades por encima del vértice, ya que la variable elevada al cuadrado es x y por tanto es una parábola en disposición vertical y como esta variable está también elevada al cuadrado con signo positivo quiere decir que el vértice de la misma queda situado hacia abajo, por tanto el foco se situará 0,25 unidades por encima del vértice. 

Por si hubiera alguna duda hemos calculado la derivada primera y la igualamos a cero, corresponde a donde tiene el mínimo. Igualamos a cero está nueva función obteniendo el valor de x, que es 0.  Como la segunda derivada es igual a dos y este es un número positivo, tenemos que es un mínimo.

Para x igual a cero, y vale -4, ésta es la coordenada en y del vértice al sustituir en la ecuación de la curva.

La ecuación de la directriz vendrá dada por una recta horizontal con 0,25 unidades por debajo del vértice y=-4,25

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Tenemos la parábola ecuación es la que aparece en el borde superior, tenemos que la ecuación general cuando el vértice pasa por el origen de coordenadas es tal y como aparece en el cuadro amarillo, sabemos que p es la distancia focal: distancia entre el foco y el vértice de la parábola. 

Si comparamos la ecuación dada y la general, observamos que 4p=8, por tanto p es igual a dos, eso quiere decir que la distancia entre el vértice y el foco son dos unidades  (sube dos unidades sobre el eje y, por tanto sus coordenadas son 0,2) y, haciendo la simétrica, la distancia del vértice a la recta directriz son otras dos unidades hacia abajo, por lo tanto su ecuación es y =-2

Parábola anterior como envolvente de tangentes

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Tenemos la ecuación de la parábola dentro del rectángulo violeta, sacamos factor común en el segundo miembro y obtenemos el 3 que multiplica a lo que aparece dentro del paréntesis, a continuación pasamos el tres dividiendo y después la constante  4 sumando, sacamos factor común nuevamente y podemos observar que 4p es igual a un tercio, por tanto la distancia focal es igual a 0,08.

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En la figura tenemos una parábola de la que conocemos su ecuación, que es la que aparece en color rojo en el borde superior derecho. Aplicamos su derivada: el exponente pasa a multiplicar como coeficiente a la variable y restamos al exponente una unidad, x al cuadrado se transforma en 2x y siguiendo el mismo procedimiento la derivada de -3x será -3.

Igualamos a cero está nueva función obteniendo el valor de x, que es 1,5. Sabemos que sobre una línea vertical por A pasa el máximo o un mínimo de la función. Como la segunda derivada es igual a dos y este es un número positivo, tenemos que es un mínimo. Sabemos además que cuando x al cuadrado es positivo va a tener un mínimo, mientras que cuando es negativo va a tener un máximo.

Cuando x es igual a 1,5, tenemos que y vale -2,25, eso lo hemos obtenido sustituyendo el primer número en la ecuación original, de esta manera obtenemos el vértice de la curva.

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Del ejercicio anterior vamos a calcular la distancia focal F-V y las coordenadas del foco.

En el cuadro o superior derecho de color amarillo tenemos la ecuación de la parábola, inmediatamente debajo en la elipse azul tenemos la ecuación de la curva, se trata de hacer que se parezca a la expresión del cuadro amarillo. Como tenemos un binomio al cuadrado a la derecha, habrá que transformar x al cuadrado menos 3x en un binomio al cuadrado, para ello le sumamos una constante: 2,25, que calculemos de la forma siguiente:

Un binomio al cuadrado de una resta es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. El segundo término tenemos que es el doble del primero por el segundo y como el primero tiene una unidad, para que nos dé el segundo multiplicando por dos, tenemos el 1,5 que multiplicado por dos es igual a tres,  y su cuadrado 2,25. 

Si se lo hemos incorporado al segundo miembro debemos incorporarlo también al primer miembro por lo que quedará y + 2,25.

Tenemos ya los dos binomios y por tanto las coordenadas del vértice, para tener las del foco sabemos que la ecuación tiene la constante 4p, por tanto en nuestra ecuación 4p=1, y  p = 0,25.

Por tanto a una distancia de 0,25 unidades hacia arriba quedará el foco y esa es la distancia focal FV.

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En el dibujo tenemos la ecuación de una parábola dentro del rectángulo, al despejar el dos pasa al segundo miembro dividiendo y sacamos factor común, obteniendo un medio que es igual a 4p. Sabemos que p es la distancia focal, la distancia entre el foco y el vértice, por tanto despejamos y obtenemos que p es igual a un octavo, esto quiere decir que la distancia entre el foco y el vértice son 0,13 unidades.

Al despejar también pudimos ver en el segundo miembro que a la variable x se le restan tres unidades mientras que a la variable y, no se le resta ninguna, por tanto las coordenadas del vértice son 3  y 0. 

Si le damos un valor cualquiera a la variable x obtenemos dos resultados correspondientes a la variable dependiente y, eso quiere decir que la parábola es horizontal y como el vértice está en las coordenadas 3,0, la dirección de la parábola tiene el sentido hacia la izquierda, en consecuencia sumamos 0,13 unidades a la coordenada en x del vértice, obteniendo las coordenadas del foco.

En el dibujo se ha representado también la curva integral de la parábola representada en color violeta.

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En la figura podemos observar la interferencia que se produce entre distintas circunferencias concéntricas y rectas equidistantes, esa intersección nos determinan puntos de distintas parábolas.

En la figura podemos observar que las distintas orientaciones de las parábolas provocan que varíe la  ecuación de la parábola.

-4p(x-x’)=(y-y’) ²  el eje focal es horizontal y apunta a la derecha-  en azul oscuro

4p(x-x’)=(y-y’) ²  el eje focal es horizontal y apunta a la izquierda- en violeta

-4p(y-y’)=(x-x’) ²  el eje focal es vertical y apunta hacia arriba-  en azul claro

4p(y-y’)=(x-x’) ²  el eje focal es vertical y apunta hacia abajo-  en verde

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En la figura de la derecha tenemos una parábola,  como la distancia desde un punto C hasta la directriz de color verde es igual a la distancia desde ese punto de la parábola hasta el foco F,  tenemos que se verifica esa igualdad,  esto quiere decir que la distancia del punto C al foco la podemos calcular por el teorema de Pitágoras de manera que los catetos son los segmentos verde y naranja,  cogiendo la fórmula de distancia entre dos puntos,  mientras que la distancia desde un punto hasta la directriz (es el segmento verde x=-2),  lo que llamamos x + P.

Una vez que ya tenemos desarrollado el cálculo algebraico tenemos la ecuación que es igual a
y al cuadrado igual a 4 px,  si sustituimos el valor de p que es 2 tenemos que 4 p = 8 por tanto p
es la distancia focal VF cuyo valor es 2.

En la figura de la izquierda hemos hecho un cuadrado de  8 x 8 unidades (R,G,F,-8)
y desde el punto F hemos hecho una radiación que pasa por las divisiones del eje
horizontal 1,2,3,4,5,mientras que por la vertical que pasa por F también hemos hecho
esas divisiones de  8 unidades por encima del eje,  de manera que  para obtener cualquier
punto de la parábola basta con hacer una recta que pase por el foco  y un punto de la División
horizontal,  por ejemplo por el punto 2 o foco,  de igual forma hacemos la recta horizontal
 azul p qué pasa a la altura del punto 2,  la intersección de ambas nos determina el punto P,  
que es un punto de la parábola.

Si cogemos otro punto, por ejemplo el 4, trazamos la recta marrón por ese punto y por F,
la intersección de la recta con la horizontal qué pasa por el punto N nos determina el punto
de la parábola A  de coordenadas  2,4.

Como podemos observar cualquier punto que obtengamos se puede demostrar que
pertenece a la parábola porque si lo sustituimos en la ecuación observamos que la satisface.

Dada directriz x= - 3, tangente g y punto E, determinar parábola