Páginas sobre transformaciones geométricas:
http://proporcion-escala-semejanza-homotecia.blogspot.com.es/
http://giros-traslaciones-simetrias.blogspot.com.es/
http://giros-traslaciones-simetrias.blogspot.com.es/
Homotecias
Simetrías
Dos puntos CC' son simétricos respecto un eje de simetría cuando están a igual distancia de éste y en una perpendicular común al eje de simetría.
Como podemos observar en el dibujo, si llamamos D al punto de intersección de la perpendicular por donde pasan los simétricos CC' con el eje de simetría, tenemos que el punto original C está respecto a este punto a cierta distancia en x (en este caso tres unidades) y a cierta distancia sobre el eje y (en este caso una unidad. Su simétrico estará respecto a este último punto B determinado bajo las mismas coordenadas, tres sobre el eje x y una unidad sobre el eje y.
Función impar
Es aquella que es simétrica central respecto al origen de coordenadas.
En la función impar, f(x)=-f(x). Si sustituimos x por -x, obtendremos el mismo valor, por ejemplo -(-3)3 es 27 y por otro lado -(3)3 es -27, efectivamente f(x)=-f(x)
Función impar
En esta función observamos otro ejemplo de curva simétrica respecto al origen de coordenadas, si sustituimos la variable independiente x por -x, obtenemos una función idéntica pero de signo contrario, por tanto f(x)=-f(x)
Función no uniforme
Función no uniforme es aquella cuyas ramas son simétricas respecto al eje de las abscisas. Por ejemplo, una parábola horizontal es aquella que para todo valor de x, tenemos dos valores en y. Esos dos valores equidistan del eje x, ya que y 2= x , por tanto y es igual a la raíz cuadrada de x, de esta forma, y tiene dos valores por cada valor de x.
En la función y = (x 2+1)1/2 podemos observar una simetría respecto del eje vertical, por tanto es una función par. observamos también que por ser una hipérbola es simétrica respecto al eje x.
Es aquella función que es simétrica respecto al eje y. f(x)= -f(x)
En el dibujo tenemos otra función par. Podemos comprobar que f (-x)= f (x), esto quiere decir que en la función dada, tenemos que sustituir x por -x. Podemos comprobar que al sustituirlo obtenemos la misma función, por lo tanto es simétrica respecto al eje de ordenadas.
Simétricas respecto a los ejes cartesianos
Simétrica respecto al origen
Funciones simétricas respecto al eje y
f(x)=2 x es una función exponencial en la que la constante 2 es mayor que uno, todas las funciones exponenciales de este tipo en las que la constante es mayor que uno son crecientes, que quiere decir que al incrementar los valores de x también se incrementan los valores de y. La función inversa de esta es aquella que multiplicada por ella da como resultado la unidad, por tanto tenemos que la función inversa es f(x)=(1/2)x observamos en este caso que la constante es menor que uno, por tanto la función es decreciente.
Podemos observar que las dos funciones son simétricas respecto al eje y, al igual que todas las funciones exponenciales y sus inversas.
Si tabulamos la función f(x)=2 x (le damos valores a x) podemos comprobar que el límite de la función cuando x tiende a infinito es infinito, mientras que cuando tiende a menos infinito es cero, esto quiere decir que cuando por la derecha nos vamos acercando hacia el infinito, o sea, al darle a x valores cada vez mayores, tenemos que sobre el eje y también adquiere valores cada vez mayores, por tanto tiende a infinito. Tenemos por contra que si nos acercamos por la izquierda hacia el menos infinito, el límite de la función, esto es, los valores que va tomando sobre el eje y se van acercando cada vez más a cero.
En su función inversa f(x)=(1/2)x podemos comprobar que el límite de la misma cuando x tiende a infinito es cero mientras que cuando el límite de la función tiende a menos infinito, el valor que se obtiene es infinito. Esto quiere decir que cuando en la dirección positiva del eje x nos acercamos hacia el infinito, los valores de la función en y se acercan hacia el cero, mientras que al acercarnos por la izquierda hacia el menos infinito, los valores de la función sobre el eje y se acercan hacia el infinito.
Podemos comprobar que la función y su inversa se cortan siempre en el punto uno, ello es debido a que al elevar cualquier número a cero, que es el valor de x, el resultado es siempre uno. Por tanto todos las funciones exponenciales con un valor cualquiera para la constante tenemos que pasan por el punto 1, análogamente sus inversas también pasan por éste punto y al mismo tiempo también son simétricas respecto al eje y.
Figuras equivalentes
Figuras equivalentes son las que tienen el mismo área. Dada la ecuación de una elipse (en color rosa) se pide la ecuación de un círculo equivalente, un rectángulo equivalente y un cuadrado equivalente. Como todas las figuras van a tener el mismo área, para calcularlas debemos igualar sus áreas. Empezamos transformando la elipse en la circunferencia, para ello debemos conocer la fórmula para calcular el área de la elipse= a.b.pi, siendo a el semieje mayor y b el semieje menor igualando al área del círculo pi.r.r = pi.a.b tenemos una expresión en la que podemos eliminar pi.
Por tanto, considerando en la ecuación del elipse los denominadores tenemos que el semieje mayor vale la raíz cuadrada de 64 y el semieje menor la raíz cuadrada de cuatro, por tanto ambas dimensiones son respectivamente 8 y 2. El producto de ambas es 16, por tanto el radio al cuadrado del círculo valdrá también 16, en consecuencia el radio es 4.
Para construir el cuadrado equivalente al círculo, lo que se denomina la cuadratura del círculo, tenemos que al igualar las áreas
r.r.pi=lado del rectángulo .lado del rectángulo = el lado del cuadrado. lado del cuadrado
Tenemos el radio del círculo, por tanto su área r.r.pi la repartimos en 2 segmentos: r y r.pi, el primero es la distancia CA, el segundo es la distancia CD, esto es r.pi = 4. 3,14 = 12,56
Colocamos este segmento naranja a partir del punto C y construimos la semicircunferencia que corta a la vertical por A en E.
CE es el lado del cuadrado según el teorema del cateto.
Por tanto la elipse rosa de ecuación dada, la circunferencia verde, el rectángulo de lados CA y CD -no dibujado- y el cuadrado CEFG son figuras equivalentes.
Puntos inversos
Elementos tangentes por inversión
Para calcular las circunferencias tangentes a una circunferencia roja dada, a una recta verde dada y a un punto dado E,
1- Se hacen las tangentes desde ese punto a la circunferencia roja dada.
2- Tomando como radio FE del punto de tangencia F y E como centro, hacemos la circunferencia de color azul. Esta circunferencia es la que llamamos de autoinversión.
3- Esta circunferencia transforma a la circunferencia roja en sí misma y a la recta verde en una circunferencia violeta que pasa por los puntos de corte con la azul GH y por el centro E.
4- De esta nueva circunferencia violeta y de la roja dada hacemos las tangentes, - tal y como aparece en el dibujo naranja inferior.
5-A continuación construimos las circunferencias inversas de estas dos rectas, y ésta es la solución.
Aunque el ejercicio está resuelto mediante dibujo, se puede resolver de forma algebraica:
1- para calcular las rectas tangentes desde el punto E procedemos como el ejercicio siguiente, hacemos una circunferencia cuyo radio sea un medio de AE y cuyo centro este en el punto medio de AE. La intersección de esta circunferencia con la roja nos determinan los puntos de tangencia F y su simétrico respecto a x.
2- si tenemos F y E ya tenemos la ecuación de la circunferencia azul, por saber su radio y su centro.
3- para calcular la circunferencia violeta construimos las mediatrices de GE EH, son las rectas perpendiculares a GE EH por los puntos medios. Para ello tenemos que obtener la ecuación de las rectas que pasan por GE EH y a continuación el punto medio de cada recta. La recta perpendicular por el punto medio serán las mediatrices de GE y EH. La intersección de ambas es el centro de la circunferencia inversa de la recta verde.
4- para obtener las tangentes de ambas circunferencias seguimos el procedimiento que aparece dos dibujos más abajo, para obtener la ecuación de las tangentes hay que calcular los puntos de tangencia mediante el procedimiento inferior.
5- para construir las circunferencias inversas a las rectas seguimos el procedimiento del ejercicio anterior.
Para calcular las tangentes a una circunferencia
desde un punto exterior P, se une el punto con el centro de la circunferencia O
y se hace la mediatriz de ese segmento, en el punto medio se hace centro con la
distancia desde ese punto, centro de la circunferencia azul, hasta el centro de
la circunferencia amarilla de centro O.
Dadas dos circunferencias (una la correspondiente al
círculo de color rosa y la otra a la naranja) construir las tangentes exteriores
r s a las mismas.Se unen los puntos de tangencia B C con el centro O del círculo naranja y donde corten a la circunferencia naranja tenemos los puntos de tangencia por los cuales hacemos rectas paralelas r s a las tangentes anteriores m n.
Si queremos saber los puntos de tangencia exactos con el círculo rosa, por el centro de esta circunferencia haremos paralelas a las rectas OB OC.
|
|
Inversión 2 |
No hay comentarios:
Publicar un comentario