Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se puede hacer un determinante. Cogemos los coeficientes de los términos de ambas ecuaciones y los situamos en dos filas uno sobre el otro: 210 sobre -1 3 - 7.
El determinante general D está formado por los coeficientes del primer miembro, esto es, 21 y -13 (rectángulos en color rosa y azul).
Para calcularlo multiplicamos de forma cruzada 2 × 3 igual a seis menos -1 × 1 igual a siete en total.
Las coordenadas del punto en x van a ser el cociente entre el determinante de x entre el determinante general hallado anteriormente:
El determinante de x lo obtenemos sustituyendo en la columna rosa la columna amarilla. Multiplicamos de forma cruzada, 0 × 3 - 1 x -7, tenemos que -1 por -7 es igual a siete. Este valor dividido entre el del determinante general nos da la coordenada en x, que vale uno
Las coordenadas del punto y van a ser el cociente entre el determinante de y y entre el determinante general:
sustituyendo la columna azul correspondiente a la variable por la amarilla y multiplicando de forma cruzada tenemos que 2 por -7 es -14 menos -1 × 0 es 0, en total -14 punto dividido entre el determinante general que era siete tenemos que el coeficiente y vale -2.
Las coordenadas del punto son por tanto 1, -2, este punto satisface ambas ecuaciones, con lo cual si tenemos que esas ecuaciones corresponden a dos rectas, el punto es el de intersección de ambas rectas.
Todo esto lo metemos dentro de un paréntesis y le restamos las diagonales violetas en el otro sentido: -2 × -2 x1 es igual a cuatro, -1 por -1 por -1 es -1, 2 × 2 × 2 es 8.
Siempre debemos tomar las diagonales en un sentido escogiendo tres términos y luego restar la suma de las otras tres en el otro sentido. El procedimiento para calcular este determinante se va a aplicar igual en todos los demás, por lo que ya no se repite el procedimiento a continuación.
Para calcular cada determinante correspondiente a las variables repetimos las tres columnas del determinante principal pero cambiamos la columna de la x por los coeficientes del segundo miembro (9, -2,8) de las tres ecuaciones, cuando hacemos el determinante de x, lo mismo haremos con el determinante de y, cambiamos su columna por los coeficientes del segundo miembro.
Para la cuarta y quinta columna cogemos para las variables x e y las dos primeras columnas de los determinantes, para la variable z hacemos exactamente lo mismo, cogemos las dos primeras columnas, con la salvedad de que ninguna de estas dos columnas había sido sustituida en el caso de la variable z por el segundo miembro de las ecuaciones, por lo que la cuarta y quinta columna de la variable z aparece idéntica a la primera y segunda en su determinante.
Una vez que hemos calculado el valor de estos cuatro determinantes, para calcular lo que vale cada una de las variables dividimos el determinante de cada variable por el determinante general, obteniendo las coordenadas del punto de intersección, que en este caso es 2, 1,6.
En la figura vemos la resolución gráfica al ejercicio anterior, de los planos obtenemos sus ecuaciones segmentarias al dividir todos los términos de la izquierda de cada una de las ecuaciones por el miembro de la derecha, de esta manera a la derecha queda un uno. Al mismo tiempo en cada uno de los términos eliminamos los coeficientes anejos a las variables, mandándolos al denominador.
Las ecuaciones segmentarias obtenidas son las que aparecen en la parte superior derecha . Los números de los denominadores son los puntos de intersección de los planos con los ejes cartesianos. Si prolongamos las trazas ab - rectas de intersección de los planos con los planos de los cuadrantes del triedro trirrectángulo cartesiano- observamos que se cortan en P, y que al mismo tiempo cortan al plano de la izquierda en su traza en los puntos QH, ya que las tres trazas son coplanarias en xz.
Si prolongamos las trazas horizontales st de los dos planos anteriores, el azul y el verde, vemos que corta a la traza f del otro en los puntos MN.
Si unimos estos puntos MN con los anteriores QH, obtendremos el punto de intersección T, ya que las líneas MQ y NH son realmente la intersección de los dos primeros planos con el tercero, en consecuencia son la intersección de los tres planos, y esta es la solución del ejercicio anterior.
Determinante de producto cruz para obtener un vector normal
Plano que pasa por tres puntos
Para construir un plano que pase por tres puntos ABC, primero determinamos dos vectores directores que serán paralelos al plano, para obtenerlos basta con restar dos puntos cualesquiera de los dados. Por ejemplo si restamos el punto B menos el punto A obtenemos el vector AB, 2 - 1 es 1, 3 - 2 es 1, 7 menos -4 es 11, hacemos exactamente igual con los puntos AC.
Para obtener los dos vectores podemos coger cualquier pareja de puntos.
A continuación hacemos el producto cruz que es un determinante formado por los dos vectores y que se calcula de la siguiente forma:
Construimos una matriz que contenga a los dos vectores directores con una fila sobre la otra:
i j k
1 1 11
3 -3 7
Cuando utilizamos el vector i, eliminamos su fila y columna por lo que lo que nos queda es un determinante con las columnas 1,3 y 11,7. Multiplicando de forma cruzada ambos tenemos que 1 × 7 es igual a 7
A continuación le restamos el producto - 3 × 11 es igual a 33.
En consecuencia 7 + 33 es igual a 40.
A continuación hacemos lo mismo con el vector j, eliminamos su fila y columna y tenemos un determinante formado por 1,3 y 11,7. Multiplicamos de forma cruzada 1 × 7 - 3 × 11, y nos queda -26.
Hacemos lo mismo con el vector k y tenemos que el producto de 1 por -3 - 3 × 1 es igual a -6.
Las coordenadas del vector normal queda definido por los tres componentes de este vector, tomando el segundo, el correspondiente al vector j como negativo
Por tanto el vector 40, -26, -6 queda en 40,26, -6, que es el vector normal.
A continuación, como sabemos que todo plano tiene por coeficientes los componentes del vector normal, tomamos un punto cualquiera y lo sustituimos en sus variables xyz correspondientes para obtener la constante D, despejando tenemos que la constante es igual a -116, por lo que la ecuación queda con los coeficientes del vector normal que multiplica a sus variables correspondientes -116 igual a cero, que es lo que aparece al final en el rectángulo azul.
Muchas Gracias me sirvio muchisimo :D
ResponderEliminar...viaje interestelar aceleración constante (Katherine Johnson, "la chica" matemática genio que traspasó las Puertas de la Historia para entrar en la Leyenda)... sus profesores a los padres cuando aún era una niña prodigio: "en todos mis años de enseñanza nunca he visto una cabeza como la de su hija, tienen que hacerlo, tienen que ver hasta dónde llega...", "decidme donde queréis que caiga en el océano y yo os diré desde donde tenéis que lanzarlo", les decía a los científicos de la NASA cuando los primeros astronautas, a los que le iba la vida en ello, decían "que la chica haga los cálculos"... "El avión pequeño que cayó del cielo", nadie sabía entonces porque, ella descubrió y demostró matemáticamente que habían sido los vórtices de punta de ala de un avión grande que le precedía volando algo más alto, esa turbulencia de otras puntas de ala hizo que aquella avioneta se estrellara. Y hasta hoy en que la Aeronáutica sabe lo que Katherine descubrió (en el periódico que dió la noticia no mencionaron su nombre como autora). Pero como era mujer y negra, le adjudicaron el mérito a su jefe del departamento y a ella la dejaron como ayudante. Y tantos descubrimientios y cálculos de órbitas que hizo para hacer ir y volver con seguridad a los Apollo de la Luna, a los que llevó literalmente de su mano. A Katherine Johnson le pidieron la Luna y ella no se echó atrás, con poco más que un lápiz, una regla de cálculo y una incipiente informática, que ella tenía que verificar, trazó con precisión las trayectorias que permitirían el aterrizaje... "la NASA nunca olvidará su entusiasmo coraje y liderazgo, y los logros que no podríamos haber alcanzado sin ella"... "triedro de Frenet, el algoritmo de ortogonalización", maravillosa Geometría Analítica, rama de la Geometría que representa las figuras geométricas, planas o tridimensionales, mediante ecuaciones y las situa en los ejes de coordenadas x,y,(z)... el punto pasa/no pasa exacto cuando todavía no había fórmula para saber donde estaba porque iba a ser ella quien la inventara: "...afrontar el problema de forma numérica en vez de teórica...el método de Euler..." (no era lo mismo caer en cualquier sitio de la estepa cuando Yuri le preguntó a aquella asombrada anciana donde había un telf. para llamar y que vinieran a recogerlo, que tener un barco justo al lado)... "Katherine haz el cálculo"...la respuesta de Katherine: "el punto pasa/no pasa de la re-entrada, es decir pasar de una órbita elíptica a esta trayectoria parabólica exacta, con esta latitud y longitud de caída de la cápsula en el océano margen de error 30 mts²"... "Eso me ha gustado", dijo Glenn, "si ella dice que son buenos yo despego"... (Cuando un día un funcionario fue a preguntarle al jefe por esos trabajos, este le dijo "mire hable con Katherine porque ella es en realidad la que lo hace casi todo"). No es de extrañar en un país donde sus religiosos presidentes dicen eso de "que Dios bendiga a los Estados Unidos de América" (y al resto del Mundo que lo parta un rayo), un país en el que a la casa del presidente le llaman la casa "blanca". Aunque tardíos, al fin desde 2015 reconocimientos de la NASA y la nación: Medalla Presidencial Libertad, y en Langley "Centro Katherine G. Johnson", y Medalla de Oro del Congreso. (Sus publicaciones científicas: Wikipedia Katherine Johnson (12)... Legendaria Matemática Katherine Johnson: Honor y Gloria Eternas... Ya debe haber en el Universo una estrella llamada Katherine Johnson.
ResponderEliminar...viaje interestelar constante aceleración (sobre 30 ovnis tonyon)... 06-05-2021, 22:30 h, vienen del SW y van hacia el NE... tamaño aparente como estrellas, en trayectoria orbital más de 30 OVNIS puntos luz blanca igual que tenue reflejo Sol en satélites, pero con la luminosidad que se ve la estrella Deneb, en fila india manteniendo equidistancia en perfecta línea recta todos a igual velocidad como satélites ~28,000 km/h, vistos desde Superficie Tierra van lentos (en 45º iban unos 15) y separados entre sí un ángulo A ~3º: altura orbital Cateto Contiguo AB suponiendo 300 km, Cateto Opuesto BC, Hipotenusa AC; cos A=AB/AC; 0.9986=300/AC; AC=300/0.9986; AC=300.42 km; AC²=AB²+BC²; BC²=AC²-AB²; BC=SQR (300.42²-300²); BC=15.88 km... Más de 30 Naves Espaciales en órbita sobre la Tierra en fila india separadas 15 km entre sí hacia el NE (la noche siguiente ya no pasaron)... de donde vinieron y donde se fueron... ¿Qué era eso?... Drones Espaciales ya.
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