Determinantes

Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se puede hacer un determinante. Cogemos los coeficientes de los términos de ambas ecuaciones y los situamos en dos filas uno sobre el otro: 210 sobre -1  3 - 7.

El determinante general D está formado por los coeficientes del primer miembro, esto es, 21 y -13 (rectángulos en color rosa y azul).

Para calcularlo multiplicamos de forma cruzada 2 × 3 igual a seis menos -1 × 1 igual a siete en total. 

Las coordenadas del punto en x van a ser el cociente entre el determinante de x entre el determinante general hallado anteriormente:

El determinante de x lo obtenemos sustituyendo en la columna rosa la columna amarilla. Multiplicamos de forma cruzada, 0 × 3 - 1 x -7, tenemos que -1 por -7 es igual a siete. Este valor dividido entre el del determinante general nos da la coordenada en x, que vale uno

Las coordenadas del punto y van a ser el cociente entre el determinante de y y entre el determinante general:

sustituyendo la columna azul correspondiente a la variable por la amarilla y multiplicando de forma cruzada tenemos que 2 por -7 es -14 menos -1 × 0 es 0, en total -14 punto dividido entre el determinante general que era siete tenemos que el coeficiente y vale -2.

Las coordenadas del punto son por tanto 1, -2, este punto satisface ambas ecuaciones, con lo cual si tenemos que esas ecuaciones corresponden a dos rectas, el punto es el de intersección de ambas rectas.

Determinante correspondiente a las tres ecuaciones

Para calcular el determinante correspondiente a las tres ecuaciones que aparecen en el cuadro amarillo, escribimos los coeficientes de los términos de la ecuación alineados en tres filas, tal y como aparece en el determinante principal en la parte superior, a continuación volvemos escribir las dos primeras columnas. Para calcularlo multiplicamos de forma cruzada y en diagonal -conforme a las líneas verdes- de la siguiente forma: -1 × 2 × 1 es -2                  más -2 por -1 × 2 es +4,       más   2 × 1 por -1 es- 2.
Todo esto lo metemos dentro de un paréntesis y le restamos las diagonales violetas en el otro sentido: -2 × -2 x1 es igual a cuatro,            -1 por -1 por -1 es -1,           2 × 2 × 2 es 8.
Siempre debemos tomar las diagonales en un sentido escogiendo tres términos y luego restar la suma de las otras tres en el otro sentido. El procedimiento para calcular este determinante se va a aplicar igual en todos los demás, por lo que ya no se repite el procedimiento a continuación.

Para calcular cada determinante correspondiente a las variables repetimos las tres columnas del determinante principal pero cambiamos la columna de la x  por los coeficientes del segundo miembro (9, -2,8) de las tres ecuaciones,  cuando hacemos el determinante de x, lo mismo haremos con el determinante de y, cambiamos su columna por  los coeficientes del segundo miembro.
Para la cuarta y quinta columna cogemos para las variables x e y las dos primeras columnas de los determinantes,  para la variable z hacemos exactamente lo mismo, cogemos las dos primeras columnas, con la salvedad de que ninguna de estas dos columnas había sido sustituida en el caso de la variable z por el segundo miembro de las ecuaciones, por lo que la cuarta y quinta columna de la variable z aparece idéntica a la primera y segunda en su determinante.
Una vez que hemos calculado el valor de estos cuatro determinantes, para calcular lo que vale cada una de las variables dividimos el determinante de cada variable por el determinante general, obteniendo las coordenadas del punto de intersección, que en este caso es 2, 1,6.

En la figura vemos la resolución gráfica al ejercicio anterior,  de los planos obtenemos sus ecuaciones segmentarias al dividir todos los términos de la izquierda de cada una de las ecuaciones por el miembro de la derecha, de esta manera a la derecha queda un uno. Al mismo tiempo en cada uno de los términos eliminamos los coeficientes anejos a las variables, mandándolos al denominador.
Las ecuaciones segmentarias obtenidas son las que aparecen en la parte superior derecha . Los números de los denominadores son los puntos de intersección de los planos con los ejes cartesianos. Si prolongamos las trazas ab - rectas de intersección de los planos con los planos de los cuadrantes del triedro trirrectángulo cartesiano- observamos que se cortan en P, y que al mismo tiempo cortan al plano de la izquierda en su traza en los puntos QH, ya que las tres trazas son coplanarias en xz.
Si prolongamos las trazas horizontales st de los dos planos anteriores, el azul y el verde, vemos que corta a la traza f del otro en los puntos MN.
Si unimos estos puntos MN con los anteriores QH, obtendremos el punto de intersección T, ya que las líneas MQ y NH son realmente la intersección de los dos primeros planos con el tercero, en consecuencia  son la intersección de los tres planos, y esta es la solución del ejercicio anterior.






Determinante de  producto cruz para obtener un vector normal
Plano que pasa por tres puntos

Para construir un plano que pase por tres puntos ABC, primero determinamos dos vectores directores que serán paralelos al plano, para obtenerlos basta con restar dos puntos cualesquiera de los dados. Por ejemplo si restamos el punto B menos el punto A obtenemos el vector AB, 2 - 1 es 1,             3 - 2 es 1,            7 menos -4 es 11,   hacemos exactamente igual con los puntos AC.

Para obtener los dos vectores podemos coger cualquier pareja de puntos.

A continuación hacemos el producto cruz que es un determinante formado por los dos vectores y que se calcula de la siguiente forma:

Construimos una matriz que contenga a los dos vectores directores con una fila sobre la otra:

i      j     k

1   1    11

3   -3   7

Cuando utilizamos el vector i, eliminamos su fila y columna por lo que lo que nos queda es un determinante con las columnas 1,3 y 11,7. Multiplicando de forma cruzada ambos tenemos que 1 × 7 es igual a 7 

A continuación le restamos el producto - 3 × 11 es igual a 33.

En consecuencia 7 + 33 es igual a 40.

A continuación hacemos lo mismo con el vector j, eliminamos su fila y columna y tenemos un determinante formado por 1,3 y 11,7. Multiplicamos de forma cruzada 1 × 7 - 3 × 11, y nos queda -26.

Hacemos lo mismo con el vector k y tenemos que el producto de 1 por -3     - 3 × 1 es igual a -6.

Las coordenadas del vector normal queda definido por los tres componentes de este vector, tomando el segundo, el correspondiente al vector j como negativo

Por tanto el vector 40, -26, -6 queda en 40,26, -6, que es el vector normal.

A continuación, como sabemos que todo plano tiene por coeficientes los componentes del vector normal, tomamos un punto cualquiera y lo sustituimos en sus variables xyz correspondientes para obtener la constante D, despejando tenemos que la constante es igual a -116, por lo que la ecuación queda con los coeficientes del vector normal que multiplica a sus variables correspondientes -116 igual a cero, que es lo que aparece al final en el rectángulo azul.