Polígonos

Ecuación de la bisectriz

Para calcular la ecuación de la bisectriz de un triángulo, utilizamos el teorema de la bisectriz:

http://teoremas-de-geometria.blogspot.com.es/2012/03/teorema-de-la-bisectriz.html

El teorema aparece en el dibujo dentro del rectángulo amarillo. Según el teorema AB es a BC como AF es a FC.
De esta forma, si calculamos la distancia entre AB y la distancia entre BC, tenemos que la razón entre ambos segmentos es igual a la razón entre AF y FC.
A continuación hallamos el cociente entre ambas razones y esta razón nos sirve para localizar el punto F, que es  la misma, 1,11.
Sustituimos la razón en las fórmulas para determinar las coordenadas de un punto que divide un segmento en una razón dada y obtenemos las coordenadas del punto F.
http://geometria-analitica-y-algebra.blogspot.com.es/2012/11/calculo-de-la-razon-en-que-un-punto.html
A partir de aquí, teniendo las coordenadas de F y del punto B, podemos hacer la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos.
http://geometria-analitica-y-algebra.blogspot.com.es/2012/11/recta-que-pasa-por-2-puntos.html


Ecuación de la altura

Para calcular la ecuación de la altura del triángulo desde el vértice C, calculamos primero la ecuación de la base AB. Para determinar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos utilizamos la fórmula que aparece en el borde inferior del rectángulo amarillo. Sustituyendo las coordenadas de los puntos en la ecuación, obtenemos la ecuación  7x+4y=-9. esta es la ecuación general, despejamos la y para obtener la ecuación ordinaria y tenemos la ecuación que aparece en la parte superior en el rectángulo rojo.

Si volteamos numerador y denominador y le cambiamos de signo en este ecuación obtenemos la ecuación del rectángulo rosa, es la ecuación de la recta perpendicular a la anterior ya que tiene pendiente inversa y de signo contrario. Para obtener el coeficiente b, sustituimos en la ecuación el punto de coordenadas (5,2) ya que pertenece a la recta y por tanto satisface la ecuación. De esta manera obtenemos que b vale -6/7. Lo sustituimos en la fórmula anterior y ya tenemos la ecuación ordinaria de la recta perpendicular, o también de la altura, en el dibujo aparece en la elipse de color azul. 

La intersección de las alturas del triángulo genera un punto llamado ortocentro

Ecuación de la mediana

Para calcular la ecuación de la mediana, que es la recta que va del punto medio de un lado al vértice opuesto del triángulo, determinamos el punto medio sumando las coordenadas de los puntos de esa recta y dividiendo esa medida entre dos. De esta manera obtenemos las coordenadas del punto E. (Es la operación que aparece en la parte superior derecha en color verde)
 A partir de aquí hacemos la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos EC, que viene determinada por la fórmula que aparece en la elipse roja. Sustituyendo los valores de las coordenadas de ambos puntos obtenemos la ecuación de la recta mediana del triángulo.
 La intersección de las medianas del triángulo se denomina baricentro, centro de gravedad o centro de masas.

Recta de Euler

Ortocentro- es el punto de intersección de las tres alturas

Baricentro- es el punto de intersección de las tres medianas

Circuncentro- es el punto de intersección de las tres mediatrices, es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

Estos tres puntos siempre están alineados y forman una recta llamada de Euler

Incentro- es el punto de intersección de las tres bisectrices, este punto es el centro de una circunferencia tangente a los 3 lados del triángulo

http://construccion-de-triangulos.blogspot.com.es/

Si cogeremos los puntos medios de un triángulo,- en color azul-, tenemos que una circunferencia pasa por ellos, ya que toda circunferencia está determinada por tres puntos. 

A continuación hacemos las alturas o perpendiculares desde cada vértice al lado opuesto y obtenemos el ortocentro, como podemos ver la intersección de las alturas con los lados del triángulo son otros tres puntos - en violeta- de la circunferencia.

 Si alineamos cada punto azul con el centro de la circunferencia y prolongamos esas rectas cortan a cada altura correspondiente en un punto amarillo. Esos tres puntos amarillos son puntos de la circunferencia. 

Hemos obtenido nueve puntos de la circunferencia de Feuerbach, según el teorema que lleva su nombre.

Tenemos un triángulo azul ABC y queremos construir un triángulo -en amarillo- de manera que los vértices del triángulo dado estén en los puntos medios de cada uno de los lados del triángulo que queremos obtener. 

Si dibujamos un triángulo inscrito en el azul cuyos vértices son los puntos medios de los lados vemos que el triángulo de color siena obtenido tiene los lados paralelos al triángulo azul ABC. En consecuencia para obtener el triángulo amarillo podemos hacer paralelas por cada uno de los tres vértices a los lados, de esta manera podemos dibujar ya el triángulo amarillo, que era lo que nos pedían.