El plano

Ecuación ordinaria del plano

Vamos a construir la ecuación ordinaria del plano partiendo del conocimiento de tres puntos del mismo.

 Aunque los puntos de los que vamos a partir corresponden a puntos de los ejes cartesianos, el método sirve para calcular la ecuación del plano sean cuales sean los puntos.

Como tenemos que las coordenadas de los tres puntos están en los ejes, tenemos las siguientes coordenadas:        3, 0,0     0, 3,0           0, 0,3

El primer punto, por tener las coordenadas en  y z igual a cero, quiere decir que está sobre el eje x, lo mismo pasa con los otros dos, el segundo al tener las coordenadas en xz con valor cero, significa que el punto está sobre el eje y. Análogamente sucede igual con z.

 Inmediatamente podemos construir la ecuación segmentaria, la que está en el rectángulo azul, colocando en los denominadores el coeficiente 3 debajo de cada variable siendo igual el segundo miembro a uno.

Si queremos obtener la ecuación general, tomamos 2 de los dados y los restamos, por ejemplo z menos y, a continuación hacemos lo mismo con otros dos, por ejemplo y menos x. De esta manera obtenemos los vectores definidos por esos 3 puntos que pasan por el origen de coordenadas y que son paralelos al plano (en el dibujo los vectores azules sobre los planos azules).

Construyendo a continuación el producto vectorial de ambos vectores -ver construcción de determinantes mediante el producto cruz- , tal y como parece en el borde inferior izquierdo del dibujo, podemos obtener el vector normal al plano. Sabemos que los tres componentes  9, 9,9 de este vector son los coeficientes de los tres primeros términos de la ecuación del plano que contiene los puntos, para calcular la constante D sustituimos en la ecuación un punto cualquiera obteniendo el valor de la misma igual a -27.

Plano e intersecciones con los ejes y ecuación de las trazas

Planos que pasan por el origen de coordenadas.

Ecuación segmentaria del plano.

Si tenemos que un plano corta a los tres ejes cartesianos xyz respectivamente en los puntos 14/6,  14/5   y 2, podemos escribir su ecuación segmentaria poniendo estos números como denominadores de los ejes anteriores e igualando la suma de estos miembros a la unidad, tal y como parece en la ecuación encuadrada en el rectángulo verde del dibujo. Esta es la ecuación segmentaria de ese plano.

 De esta manera podemos calcular la ecuación general de un plano sabiendo que éste corta a los ejes coordenados en ciertos puntos, a partir de estos 3 puntos construimos rápidamente la ecuación segmentaria y despejamos la unidad del segundo miembro para igualar la ecuación a cero, obteniendo de esta forma la ecuación general del plano.

Obtención de la ecuación segmentaria

Dada una ecuación general del plano, tal y como aparece en el ejemplo del dibujo en la elipse amarilla, para obtener la ecuación segmentaria del mismo, igualamos los tres términos a cero, pero de dos en dos. De esta forma si igualamos y a cero y z a  cero, despejando tenemos que equis es igual a tres.

Si a continuación igualamos a cero las variables xy obtenemos que el valor de z es cuatro.

Si hacemos por último lo mismo con las otras dos variables, xz, tenemos que el valor de y es 2.

Estos tres puntos que hemos obtenido son los puntos de intersección del plano con los ejes cartesianos, y su ecuación corresponde a las variables divididas por estos números, por ejemplo, si la variable x nos dio como valor tres, eso quiere decir que el punto intersección del plano con el eje x es 3, por tanto este número es el que aparece en el denominador, bajo la variable equis.

Para que esta ecuación se cumpla, al mismo tiempo, la suma de las variables divididas por sus coeficientes correspondientes a los valores de las intersecciones con los ejes,  debe estar igualada a la unidad.

Dada la ecuación segmentaria, obtener la ordinaria del plano

Ecuación general de un plano dados 3 puntos

Tal y como vemos en el dibujo, si nos dan 3 puntos de  un plano, por ejemplo los puntos de coordenadas:

-2, 1,3     2, -1,1    y    3,2, -2  y queremos obtener la ecuación del plano hacemos lo siguiente:

Si tomamos una pareja de puntos y restamos uno menos el otro, obtenemos un vector que es paralelo al plano que contiene a los puntos. Si hacemos lo mismo con otros 2 de los dados, obtendremos otro vector paralelo al plano que pasa por los tres puntos.

Por ejemplo, si tomamos los puntos    2, -1,1    y    3,2, -2  y los restamos, obtenemos el vector 1,3, -3.

Por ejemplo, si tomamos los puntos  2, -1,1    y -2, 1,3  , obtenemos un vector de coordenadas o componentes 4, -2, -2, o lo que es lo mismo respecto a su dirección, 2, -1, -1.

Estos dos vectores de color rosa en el dibujo definen la dirección del plano.

Si aplicamos un determinante -consultar de este blog la ejecución de determinantes- a estos dos vectores, tendremos las coordenadas del vector normal al plano, estos coeficientes 6, 5 , 7 serán los que corresponden a la ecuación del plano.

Para obtener el punto D, sustituimos en las variables un punto cualquiera del plano, teniendo de esta manera su valor, que es -14.