Perpendicularidad

Si tomamos una recta y le cambiamos los coeficientes en x e y, cambiándole además a uno de los dos de signo tenemos una nueva recta que es perpendicular a la anterior: por ejemplo, tomando la ecuación

 5x-2y+8=0

Si cambiamos los coeficientes de x e y además del signo de uno de los dos tenemos:

2x+5y+8=0,

Esta recta es perpendicular a la anterior, pero también lo es cualquiera que sea el coeficiente

C, por ejemplo la del dibujo C=11:

2x+5y+11=0

Si queremos calcular una recta perpendicular a la dada 2x+5y-11=0 y que al mismo tiempo pase por un punto B, por ejemplo el de coordenadas (0,4),  tomamos la ecuación y sustituimos las variables por el punto dado, además por la condición de perpendicularidad cambiamos los términos de x e y y el signo de uno de ellos:

-5x+2y-11=0 

sustituyendo además la constante por la letra h: -5x+2y- h =0 

tenemos que: -5 . 0 + 2 . 4 =h , de donde h=8,

sustituyendo en la ecuación anterior tenemos que:

-5x+2y- 8 =0  o cambiando de signo a todos sus términos 5x-2y+8=0, tenemos la ecuación de la recta perpendicular a la dada 2x+5y-11=0  por B (0,4).

Podemos comprobar como condición necesaria y suficiente que las pendientes de dos rectas perpendiculares sean recíprocas y de signo contario, que quiere decir que al multiplicarlas obtenemos de cociente -1 (A/B.B/A=-1). Esto quiere decir que si la pendiente de una recta es A/B, la pendiente de la otra recta es -B/A. Por tanto al multiplicar ambas pendientes tenemos como resultado la unidad negativa:

A/B.B/A=-1

En la figura tenemos una recta de color amarilla a la que se quiere hacer otra perpendicular por un punto dado de coordenadas (4, - 1). Para obtenerla simplemente intercambiamos los coeficientes de x e y, al mismo tiempo cambiamos el signo de uno cualquiera de ellos, obteniendo la recta de color rojo.

-3x+2y=-1  ,  para obtener la constante b, sustituimos en las variables x e y el valor de las coordenadas del punto dado: -3x+2y=-b, sustituyendo   -3.4+2.-1=b, de esta manera tenemos que la constante b tiene por valor 14, sustituyendo este número en la ecuación -3x+2y=-b.

Si queremos construir una recta paralela (en color verde) a esta última, es suficiente con que obtengamos el valor de la constante sustituyendo las variables las coordenadas del punto, al igual que hicimos con la recta perpendicular. De esta manera obtenemos el nuevo valor de b que es -5, sustituyéndolo en la recta 2x+3y+b=0. Los coeficientes A B son idénticos a la recta anterior, ya que es paralela a ella.

Este es el mismo ejercicio que el anterior pero resuelto mediante la ecuación o fórmula de pendiente ordenada: podemos sustituir el punto dado en la fórmula en las variables x1 y1. Las otras variables yx son las que corresponden a la ecuación y por lo tanto no se sustituyen, mientras que m es la pendiente de las rectas. Sabemos que la pendiente de dos rectas perpendiculares es inversa y de signo contrario, por lo que si la ecuación dada es 2x+3y=-1, tenemos que la pendiente viene dada por la fórmula m=-a/b.

Por tanto la pendiente de esta recta es -2/3. La pendiente de la recta perpendicular a esta será 3/2.

Mediatriz o perpendicular en el punto medio:

Para calcular la mediatriz o recta perpendicular a un segmento dado AB por el punto medio C se calcula el punto medio entre ambos. Para calcularlo sumamos las coordenadas en x y dividimos entre dos el resultado, hacemos lo mismo con la variable y. De esta manera obtenemos el punto medio entre ambos, que tiene por coordenadas (1,1).

Calculamos el vector que definen los dos puntos restando las coordenadas en x:

 4- -2

y las coordenadas en y:

-1-3

obteniendo los componentes del vector (6, -4)

El vector perpendicular tiene los términos intercambiados y uno cambiado de signo: (4,6)

La ecuación continua de la recta está formada por una igualdad con  las variables en el numerador menos las coordenadas del  punto, divididas ambas entre los valores o componentes del vector perpendicular.

Recta normal

La recta normal es aquella que es perpendicular a otra desde el origen de coordenadas.

Si tenemos que la ecuación de una recta es y= mx+b, como el coeficiente b es la intersección de la recta con el eje y, tenemos que la ortogonal a la recta dada tendrá la pendiente inversa y de signo contrario y pasará por el origen de coordenadas siendo por tanto b=0. En consecuencia la ecuación de la recta será:

 y=-x/m

Por ejemplo, en el dibujo vemos que la recta tiene por ecuación y= -2x+6, la recta perpendicular que pasa por el origen de coordenadas o punto de intersección con el eje y es una recta cuyo coeficiente es cero y tiene como pendiente su inversa de signo contrario: y= x/2.

Si 2 vectores son perpendiculares, sus componentes están intercambiados y uno de ellos está cambiado de signo. Podemos comprender en el dibujo por qué sucede esto, el vector de color rojo tiene su componente en x hacia la derecha y su componente y  hacia arriba por lo que ambos componentes son positivos, mientras que el vector verde, tiene su componente en x hacia la izquierda por lo que es negativo, mientras que el componente correspondiente al eje y va hacia arriba por lo que es positivo.

Al mismo tiempo, podremos observar que las magnitudes de los componentes de ambos vectores están intercambiados, por lo que sus módulos en x e y también, el componente del vector rojo tiene como cateto menor dos unidades y como cateto mayor cuatro, mientras que el otro por ser perpendicular tiene sus catetos de forma recíproca.

Para construir una recta que pasa por un punto y al mismo tiempo es perpendicular a un plano, como sabemos que los coeficientes 2,-3,4 de la ecuación del plano corresponden al vector normal o perpendicular al plano, la recta tendrá por ecuación vectorial el punto dado +1 parámetro t que multiplica a ese vector normal.